Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 30

Упражнение 619 к § 30

§ 30. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии · тема: Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти сумму первых n членов геометрической прогрессии 1; 3; 3²; …

Решение

$$b_1 = 1$$ , $$q = 3$$ .

S_n = \dfrac{3^n - 1}{3 - 1} = \dfrac{3^n - 1}{2}.

Ответ

Sₙ = (3ⁿ − 1)/2

Почему так

Сумма первых n членов геометрической прогрессии Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1).

Подробнее — в теме «Сумма первых n членов геометрической прогрессии».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Найти сумму первых n членов геометрической прогрессии 2; 2²; 2³; …

Решение

$$b_1 = 2$$ , $$q = 2$$ .

S_n = \dfrac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = 2^{n+1} - 2.

Ответ

Sₙ = 2ⁿ⁺¹ − 2

Почему так

Сумма первых n членов геометрической прогрессии Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1).

Подробнее — в теме «Сумма первых n членов геометрической прогрессии».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Найти сумму первых n членов геометрической прогрессии 1/2; −1/4; 1/8; …

Решение

$b_1 = \dfrac{1}{2}$ , $q = -\dfrac{1}{2}$ .

S_n = \dfrac{\frac{1}{2}\left(\left(-\frac{1}{2}\right)^n - 1\right)}{-\frac{1}{2} - 1} = \dfrac{\frac{1}{2}\left(\left(-\frac{1}{2}\right)^n - 1\right)}{-\frac{3}{2}} = \dfrac{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^n}{3}.

Проверка: при

\(n = 2\)

получаем

\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}

\dfrac{1 - \frac{1}{4}}{3} = \dfrac{1}{4}

Ответ

Sₙ = (1 − (−1/2)ⁿ)/3

Почему так

Сумма первых n членов геометрической прогрессии Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1).

Подробнее — в теме «Сумма первых n членов геометрической прогрессии».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Найти сумму первых n членов геометрической прогрессии 1; −x; x²; …, где x ≠ −1.

Решение

$$b_1 = 1$$ , $$q = -x$$ ; условие $x \ne -1$ означает $q \ne 1$ , так что формулой пользоваться можно.

S_n = \dfrac{(-x)^n - 1}{-x - 1} = \dfrac{1 - (-x)^n}{1 + x}.

Ответ

Sₙ = (1 − (−x)ⁿ)/(1 + x)

Почему так

Знаменатель прогрессии здесь −x, и условие x ≠ −1 исключает случай q = 1.

Подробнее — в теме «Сумма первых n членов геометрической прогрессии».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Найти сумму первых n членов геометрической прогрессии 1; x²; x⁴; …, где x ≠ ±1.

Решение

$$b_1 = 1$$ , $$q = x^2$$ ; при $x \ne \pm 1$ знаменатель $q \ne 1$ .

S_n = \dfrac{(x^2)^n - 1}{x^2 - 1} = \dfrac{x^{2n} - 1}{x^2 - 1}.

Ответ

Sₙ = (x²ⁿ − 1)/(x² − 1)

Почему так

Знаменатель прогрессии здесь x², и условие x ≠ ±1 исключает случай q = 1.

Подробнее — в теме «Сумма первых n членов геометрической прогрессии».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Найти сумму первых n членов геометрической прогрессии 1; −x³; x⁶; …, где x ≠ −1.

Решение

$$b_1 = 1$$ , $$q = -x^3$$ ; при $x \ne -1$ знаменатель $q \ne 1$ .

S_n = \dfrac{(-x^3)^n - 1}{-x^3 - 1} = \dfrac{1 - (-x^3)^n}{1 + x^3}.

Ответ

Sₙ = (1 − (−x³)ⁿ)/(1 + x³)

Почему так

Знаменатель прогрессии здесь −x³, и условие x ≠ −1 исключает случай q = 1.

Подробнее — в теме «Сумма первых n членов геометрической прогрессии».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Похожие задачи для тренировки