Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 30

Упражнение 620 к § 30

§ 30. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии · тема: Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии, если b₇ = 72,9, q = 1,5.

Решение

Известны последний член и знаменатель — удобна формула $S_n = \dfrac{b_n q - b_1}{q - 1}$ . Найдём $$b_1$$ : $$b_7 = b_1 q^6$$ , $1{,}5^6 = 11{,}390625$ , $b_1 = \dfrac{72{,}9}{11{,}390625} = 6{,}4$ .

S_7 = \dfrac{72{,}9 \cdot 1{,}5 - 6{,}4}{1{,}5 - 1} = \dfrac{109{,}35 - 6{,}4}{0{,}5} = 205{,}9.

Ответ

205,9

Почему так

Через последний член сумма равна Sₙ = (bₙq − b₁)/(q − 1), а b₁ находят из bₙ = b₁qⁿ⁻¹.

Подробнее — в теме «Сумма первых n членов геометрической прогрессии».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии, если b₅ = 16/9, q = 2/3.

Решение

$$b_5 = b_1 q^4$$ , $q^4 = \dfrac{16}{81}$ , поэтому $b_1 = \dfrac{16}{9} : \dfrac{16}{81} = 9$ .

S_7 = \dfrac{9\left(\left(\frac{2}{3}\right)^7 - 1\right)}{\frac{2}{3} - 1} = 27\left(1 - \dfrac{128}{2187}\right) = 27 \cdot \dfrac{2059}{2187} = \dfrac{2059}{81} = 25\dfrac{34}{81}.

Ответ

25 34/81

Почему так

Первый член находят из bₙ = b₁qⁿ⁻¹, затем применяют формулу суммы.

Подробнее — в теме «Сумма первых n членов геометрической прогрессии».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии, если b₃ = 64, q = 1/2.

Решение

$$b_3 = b_1 q^2$$ , поэтому $b_1 = 64 : \dfrac{1}{4} = 256$ .

S_7 = \dfrac{256\left(\left(\frac{1}{2}\right)^7 - 1\right)}{\frac{1}{2} - 1} = 512\left(1 - \dfrac{1}{128}\right) = 512 - 4 = 508.

Ответ

508

Почему так

Первый член находят из bₙ = b₁qⁿ⁻¹, затем применяют формулу суммы.

Подробнее — в теме «Сумма первых n членов геометрической прогрессии».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии, если b₄ = 81, q = −1/3.

Решение

$$b_4 = b_1 q^3$$ , $q^3 = -\dfrac{1}{27}$ , поэтому $b_1 = 81 : \left(-\dfrac{1}{27}\right) = -2187$ .

S_7 = \dfrac{-2187\left(\left(-\frac{1}{3}\right)^7 - 1\right)}{-\frac{1}{3} - 1} = \dfrac{-2187 \cdot \left(-\frac{2188}{2187}\right)}{-\frac{4}{3}} = 2188 \cdot \left(-\dfrac{3}{4}\right) = -1641.

Проверка сложением:

\(-2187 + 729 - 243 + 81 - 27 + 9 - 3 = -1641\)

Ответ

−1641

Почему так

Первый член находят из bₙ = b₁qⁿ⁻¹; при отрицательном q знаки членов чередуются.

Подробнее — в теме «Сумма первых n членов геометрической прогрессии».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки