Задача 1
Условие (кратко)
Первый член геометрической прогрессии 2, пятый 162; члены с чётными номерами отрицательны, с нечётными положительны. Найти сумму первых шести членов (повышенной трудности).
Решение
\(b_5 = b_1 q^4\), поэтому \(q^4 = \dfrac{162}{2} = 81\), \(q = 3\) или \(q = -3\).
Знаки членов чередуются (\(b_2 < 0\), \(b_3 > 0\), …), а это бывает только при отрицательном знаменателе. Значит, \(q = -3\).
\[S_6 = \dfrac{2\left((-3)^6 - 1\right)}{-3 - 1} = \dfrac{2 \cdot 728}{-4} = -364.\]
Проверка: \(2 - 6 + 18 - 54 + 162 - 486 = -364\).
Ответ
−364
Почему так
Чередование знаков членов означает отрицательный знаменатель, это выбирает один из двух корней q⁴ = 81.
Подробнее — в теме «Сумма первых n членов геометрической прогрессии».