Задача 1
Условие (кратко)
В геометрической прогрессии с положительными членами b₁ + b₂ = 8, b₃ + b₄ = 72. Сколько первых членов надо сложить, чтобы получить 242? (повышенной трудности)
Решение
\(b_3 + b_4 = b_1 q^2 + b_2 q^2 = q^2(b_1 + b_2)\), поэтому \(q^2 = \dfrac{72}{8} = 9\). Члены положительны, значит, \(q = 3\).
\(b_1 + b_1 q = 4b_1 = 8\), \(b_1 = 2\).
Ищем \(n\), при котором \(S_n = 242\):
\[\dfrac{2(3^n - 1)}{3 - 1} = 3^n - 1 = 242, \quad 3^n = 243 = 3^5, \quad n = 5.\]
Проверка: \(2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242\).
Ответ
5
Почему так
Сумма третьего и четвёртого членов в q² раз больше суммы первого и второго.
Подробнее — в теме «Сумма первых n членов геометрической прогрессии».