Задача 1
Условие (кратко)
а) Сократить дробь (2ⁿ⁺² − 2ⁿ⁻²)/2ⁿ.
Решение
Разделим каждое слагаемое числителя на \(2^n\):
\[\dfrac{2^{n+2} - 2^{n-2}}{2^n} = 2^2 - 2^{-2} = 4 - \dfrac{1}{4} = 3\dfrac{3}{4}.\]
То же без отрицательной степени: \(2^{n+2} - 2^{n-2} = 2^{n-2}(2^4 - 1) = 15 \cdot 2^{n-2}\), а \(2^n = 4 \cdot 2^{n-2}\), дробь равна \(\dfrac{15}{4}\).
Ответ
3 3/4
Почему так
При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитают.
Подробнее — в теме «Сумма первых n членов геометрической прогрессии».