Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 4

Упражнение 59 к § 4

§ 4. Размеры объектов и длительность процессов в окружающем мире · тема: Размеры объектов и длительность процессов в окружающем мире

Задача 1

Условие (кратко)

а) Упростить выражение (2ab/(a² − b²) + (a − b)/(2a + 2b)) · 2a/(a + b) + b/(b − a).

Решение

Скобка. Общий знаменатель $$2(a-b)(a+b)$$ :

$\dfrac{2ab}{(a-b)(a+b)} + \dfrac{a-b}{2(a+b)} = \dfrac{4ab + (a-b)^2}{2(a-b)(a+b)} = \dfrac{a^2 + 2ab + b^2}{2(a-b)(a+b)} = \dfrac{(a+b)^2}{2(a-b)(a+b)} = \dfrac{a+b}{2(a-b)}$ .

Умножение: $\dfrac{a+b}{2(a-b)} \cdot \dfrac{2a}{a+b} = \dfrac{a}{a-b}$ .

Сложение: $\dfrac{a}{a-b} + \dfrac{b}{b-a} = \dfrac{a}{a-b} - \dfrac{b}{a-b} = \dfrac{a-b}{a-b} = 1$ .

Ответ

Почему так

В скобке после приведения к общему знаменателю получается квадрат суммы, а b/(b − a) меняет знак при перестановке.

Подробнее — в теме «Размеры объектов и длительность процессов в окружающем мире».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Упростить выражение y/(x − y) − (x³ − xy²)/(x² + y²) · (x/(x − y)² − y/(x² − y²)).

Решение

Скобка. Общий знаменатель $$(x-y)^2(x+y)$$ :

$\dfrac{x}{(x-y)^2} - \dfrac{y}{(x-y)(x+y)} = \dfrac{x(x+y) - y(x-y)}{(x-y)^2(x+y)} = \dfrac{x^2 + y^2}{(x-y)^2(x+y)}$ .

Умножение: $$x^3 - xy^2 = x(x-y)(x+y)$$ , поэтому

$\dfrac{x(x-y)(x+y)}{x^2+y^2} \cdot \dfrac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)} = \dfrac{x}{x-y}$ .

Вычитание: $\dfrac{y}{x-y} - \dfrac{x}{x-y} = \dfrac{y-x}{x-y} = -1$ .

Ответ

−1

Почему так

Числитель x³ − xy² раскладывается на x(x − y)(x + y), после сокращения остаётся разность с одинаковыми знаменателями.

Подробнее — в теме «Размеры объектов и длительность процессов в окружающем мире».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки