Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Очень большие и очень малые величины удобно записывать в стандартном виде \(a \cdot 10^n\), где \(1 \le a < 10\), а \(n\) — целое число (порядок числа). Чтобы сравнить размеры или длительности, их переводят в одни единицы и делят одно на другое.
Подробное объяснение
Толщина волоса — около 0,1 мм, а до Солнца — около 150 000 000 км. Записывать такие числа «целиком» неудобно: легко потерять нуль, и сразу не видно, какое число больше. Поэтому в науке и технике пользуются стандартным видом числа и приставками к единицам.
Стандартный вид и порядок числа
Любое положительное число можно записать как \(a \cdot 10^n\), где мантисса \(a\) не меньше 1 и меньше 10, а \(n\) — целое. Число \(n\) называют порядком числа.
- \(150\,000\,000 = 1{,}5 \cdot 10^8\) — запятую перенесли на 8 знаков влево, порядок 8.
- \(0{,}0001 = 1 \cdot 10^{-4}\) — запятую перенесли на 4 знака вправо, порядок −4.
Если число больше 10, порядок положительный, если меньше 1 — отрицательный. Порядок сразу говорит, «сколько нулей» у числа: два числа одного порядка отличаются не больше чем в 10 раз, а числа с порядками 3 и 9 — примерно в миллион раз.
Приставки к единицам
Для удобства к единицам добавляют приставки. Главные из них:
| Приставка | Множитель | Пример |
|---|---|---|
| кило- | \(10^3\) | 1 км = 1000 м |
| милли- | \(10^{-3}\) | 1 мс = 0,001 с |
| микро- | \(10^{-6}\) | 1 мкм = 0,000001 м |
| нано- | \(10^{-9}\) | 1 нс = 0,000000001 с |
Соседние приставки в этой таблице отличаются ровно в 1000 раз.
Правило перевода простое: переходим к более мелкой единице — число становится больше, умножаем; к более крупной — число становится меньше, делим. Например, \(5\) мкм \(= 5 \cdot 10^{-6}\) м, а \(0{,}3\) м \(= 300\) мм.
Сравнение величин
Чтобы узнать, во сколько раз одна величина больше другой, обе переводят в одни единицы и делят. Со стандартным видом это делается в два действия: мантиссы делят друг на друга, а показатели степеней вычитают:
На обычной линейке атом и Солнечную систему не изобразить, а на шкале степеней десяти — можно: каждый шаг шкалы означает умножение на одно и то же число.
С длительностью процессов всё так же: вспышка фотоаппарата длится тысячные доли секунды, сутки — \(8{,}64 \cdot 10^4\) с, год — около \(3{,}15 \cdot 10^7\) с.
Как решать задачи
- Выпишите величины и решите, в каких единицах нужен ответ.
- Переведите все величины в эти единицы, пользуясь приставками (\(10^3\), \(10^{-3}\), \(10^{-6}\), \(10^{-9}\)).
- Запишите числа в стандартном виде.
- Выполните действия: при умножении показатели степеней складывают, при делении — вычитают; мантиссы перемножают или делят отдельно.
- Если мантисса вышла за пределы от 1 до 10, исправьте её: \(0{,}18 \cdot 10^{13} = 1{,}8 \cdot 10^{12}\).
- Проверьте смысл: человек не может быть ростом \(10^5\) м, а свет не идёт до Луны час.
Разобранные примеры
Перевод в микрометры и стандартный вид
Толщина паутинки около 0,000004 м. Запишите её в стандартном виде и выразите в микрометрах.
Переносим запятую на 6 знаков вправо и получаем 4, поэтому \(0{,}000004 = 4 \cdot 10^{-6}\) м. Так как \(1\) мкм \(= 10^{-6}\) м, это ровно 4 мкм.
Сколько идёт свет от Луны
Расстояние от Земли до Луны около \(3{,}84 \cdot 10^5\) км, скорость света \(3 \cdot 10^5\) км/с. За какое время свет проходит это расстояние?
- \(s = 3{,}84 \cdot 10^5\) км
- \(v = 3 \cdot 10^5\) км/с
- \(t\)
Единицы уже согласованы (километры и км/с).
\(t = \dfrac{s}{v} = \dfrac{3{,}84 \cdot 10^5}{3 \cdot 10^5} = 1{,}28\) с — степени одинаковые и сокращаются.
Во сколько раз волос толще бактерии
Толщина волоса 0,08 мм, длина бактерии 2 мкм. Во сколько раз волос толще бактерии?
Переводим в метры: \(0{,}08\) мм \(= 8 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{-3} = 8 \cdot 10^{-5}\) м, \(2\) мкм \(= 2 \cdot 10^{-6}\) м.
\(\dfrac{8 \cdot 10^{-5}}{2 \cdot 10^{-6}} = 4 \cdot 10^{-5 - (-6)} = 4 \cdot 10^1 = 40\).
Типичные ошибки
Пишут \(0{,}003 = 3 \cdot 10^3\). Но \(3 \cdot 10^3 = 3000\) — это в миллион раз больше исходного числа.
У чисел меньше 1 показатель отрицательный: \(0{,}003 = 3 \cdot 10^{-3}\). Проверка — умножьте обратно: \(3 \cdot 0{,}001 = 0{,}003\).
Переводя 5 км в метры, пишут \(5 : 1000 = 0{,}005\) м. Метр меньше километра, значит, метров должно получиться больше, а не меньше.
К более мелкой единице — умножаем: \(5\) км \(= 5 \cdot 1000 = 5000\) м. К более крупной — делим: \(5000\) м \(= 5\) км.
Запись \(45 \cdot 10^3\) или \(0{,}45 \cdot 10^5\) верна по значению, но это не стандартный вид, и порядок по ней определяют неправильно.
Сдвиньте запятую в мантиссе и поправьте показатель: \(45 \cdot 10^3 = 4{,}5 \cdot 10^4\), \(0{,}45 \cdot 10^5 = 4{,}5 \cdot 10^4\). Порядок числа — 4.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Как записать число 0,0072 в стандартном виде?
Показать ответ
Ответ: Б) 7,2·10⁻³
Мантисса должна быть от 1 до 10, запятую переносим на 3 знака вправо, поэтому \(0{,}0072 = 7{,}2 \cdot 10^{-3}\).
-
Какие равенства верны?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) 1 нм = 10⁻⁹ м; Б) 1 мкм = 10⁻³ мм; В) 1 км = 10⁶ мм
Милли- — это \(10^{-3}\), поэтому \(1\) мс \(= 10^{-3}\) с; остальные равенства верны, например \(1\) км \(= 10^3\) м \(= 10^6\) мм.
-
Каков порядок числа 390 000?
Показать ответ
Ответ: 5
\(390\,000 = 3{,}9 \cdot 10^5\), порядок — показатель степени, то есть 5.
-
Во сколько раз километр больше микрометра?
Показать ответ
Ответ: Б) В 10⁹ раз
\(1\) км \(= 10^3\) м, \(1\) мкм \(= 10^{-6}\) м, отношение \(10^3 \div 10^{-6} = 10^9\).
-
Сколько миллисекунд в 2,5 с?
Показать ответ
Ответ: 2500
\(1\) с \(= 1000\) мс, поэтому \(2{,}5\) с \(= 2{,}5 \cdot 1000 = 2500\) мс.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Запишите в стандартном виде толщину листа фольги 0,000015 м.
Подсказка
Перенесите запятую так, чтобы перед ней осталась одна ненулевая цифра, и посчитайте, на сколько знаков сдвинули.
Решение
Запятую переносим на 5 знаков вправо, получаем 1,5. Число меньше 1, поэтому показатель отрицательный, \(0{,}000015 = 1{,}5 \cdot 10^{-5}\) м.
Ответ
Сколько секунд в сутках? Запишите ответ в стандартном виде.
Подсказка
В сутках 24 часа, в часе 60 минут, в минуте 60 секунд.
Решение
\(24 \cdot 60 \cdot 60 = 86\,400\) с, в стандартном виде \(8{,}64 \cdot 10^4\) с.
Ответ
Сколько нанометров в 0,2 мм? Ответ запишите в стандартном виде.
Подсказка
1 мм = 10⁻³ м, 1 нм = 10⁻⁹ м. Во сколько раз миллиметр больше нанометра?
Решение
\(1\) мм \(= 10^{-3} \div 10^{-9} = 10^6\) нм. Значит, \(0{,}2\) мм \(= 0{,}2 \cdot 10^6 = 2 \cdot 10^5\) нм.
Ответ
Свет идёт от Солнца до Земли примерно 500 с. Скорость света \(3 \cdot 10^5\) км/с. Найдите расстояние от Земли до Солнца в километрах.
Подсказка
Путь равен скорости, умноженной на время.
Решение
\(s = vt = 3 \cdot 10^5 \cdot 500 = 1500 \cdot 10^5 = 1{,}5 \cdot 10^8\) км.
Ответ
Диаметр Земли около \(1{,}27 \cdot 10^4\) км, диаметр эритроцита около 7 мкм. Во сколько раз Земля больше эритроцита? Укажите порядок этого отношения.
Подсказка
Переведите оба размера в метры, потом разделите мантиссы и степени отдельно.
Решение
\(1{,}27 \cdot 10^4\) км \(= 1{,}27 \cdot 10^7\) м, \(7\) мкм \(= 7 \cdot 10^{-6}\) м.
\(\dfrac{1{,}27 \cdot 10^7}{7 \cdot 10^{-6}} = \dfrac{1{,}27}{7} \cdot 10^{13} \approx 0{,}18 \cdot 10^{13} = 1{,}8 \cdot 10^{12}\).
Порядок отношения — 12.
Ответ
Сколько примерно лет длится миллиард (\(10^9\)) секунд? Год считайте равным 365 суткам.
Подсказка
Сначала найдите число секунд в году.
Решение
В году \(365 \cdot 86\,400 = 31\,536\,000 \approx 3{,}15 \cdot 10^7\) с.
\(\dfrac{10^9}{3{,}15 \cdot 10^7} = \dfrac{100}{3{,}15} \approx 31{,}7\) года.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите линейку с миллиметрами: один миллиметр — это тысяча микрометров, а микрометр в тысячу раз меньше миллиметра. Попросите ребёнка записать 0,005 м и 5 000 000 м в виде «число от 1 до 10, умноженное на степень десяти», и посчитать, во сколько раз второе больше первого. Вопросы для проверки понимания: 1) Каков порядок числа 0,02? 2) Сколько миллиметров в 3 км? 3) Почему при делении \(10^8\) на \(10^5\) получается \(10^3\)? На что обратить внимание. На знак показателя у чисел меньше 1 и на направление перевода единиц: к мелкой единице — умножаем, к крупной — делим.