Упражнение 73 к § 5

Разложим знаменатели: \(a^3 + 27 = (a + 3)(a^2 - 3a + 9)\), \(4a^3 + 108 = 4(a^3 + 27)\); числители \(6a - 18 = 6(a - 3)\), \(5a - 15 = 5(a - 3)\).

1. Разность в скобках приведём к знаменателю \(a^3 + 27\):
   \[\dfrac{(a - 3)(a + 3) - 6(a - 3)}{a^3 + 27} = \dfrac{(a - 3)(a + 3 - 6)}{a^3 + 27} = \dfrac{(a - 3)^2}{a^3 + 27}.\]
2. Деление заменим умножением на обратную дробь:
   \[\dfrac{(a - 3)^2}{a^3 + 27} \cdot \dfrac{4(a^3 + 27)}{5(a - 3)} = \dfrac{4(a - 3)}{5} = \dfrac{4a - 12}{5}.\]

1. Числитель большой дроби: \(a + \dfrac{ab}{a - b} = \dfrac{a^2 - ab + ab}{a - b} = \dfrac{a^2}{a - b}\).
2. Знаменатель: \(a - \dfrac{ab}{a + b} = \dfrac{a^2 + ab - ab}{a + b} = \dfrac{a^2}{a + b}\).
3. Большая дробь: \(\dfrac{a^2}{a - b} \cdot \dfrac{a + b}{a^2} = \dfrac{a + b}{a - b}\).
4. Первый множитель: \(\dfrac{ab^2 - a^2b}{a + b} = \dfrac{ab(b - a)}{a + b}\).
5. Произведение: \(\dfrac{ab(b - a)}{a + b} \cdot \dfrac{a + b}{a - b} = \dfrac{-ab(a - b)}{a - b} = -ab\).