Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Практико-ориентированная задача — это задача из жизни: покупки, скидки, тарифы, ремонт, рецепты. Её решают в три шага: переводят ситуацию на язык чисел, считают по действиям и проверяют, имеет ли ответ смысл. Главные инструменты — проценты и сравнение вариантов.
Подробное объяснение
Вы собираетесь в магазин с 1000 рублей. Хватит ли на всё, что в списке? Какая упаковка выгоднее — маленькая или большая? Сколько банок краски купить, чтобы покрасить забор? Это обычные математические задачи, только условия у них не «чистые», а взяты из жизни. В них много лишних данных, единицы перемешаны, а ответ иногда нельзя оставить дробным.
Проценты: работаем с множителем
Процент — сотая часть числа. Удобнее всего считать проценты через множитель:
- увеличить на \(p\%\) — умножить на \(1 + \dfrac{p}{100}\) (наценка 20 % — умножить на 1,2);
- уменьшить на \(p\%\) — умножить на \(1 - \dfrac{p}{100}\) (скидка 15 % — умножить на 0,85).
Если изменений несколько, множители перемножают. Важно: каждый новый процент считается от новой величины. Поэтому скидка 25 % и следующая за ней наценка 25 % не возвращают цену обратно.
Выбор выгодного варианта
Тарифы связи, такси, абонементы, акции «две упаковки по цене одной» — во всех этих задачах надо сравнить варианты. Правило простое: посчитать, сколько придётся заплатить по каждому варианту при одних и тех же условиях, и выбрать меньшую сумму. Сравнивать нужно одинаковые вещи: цену одного литра, а не цену пакета; стоимость за месяц, а не стоимость минуты.
Часто ответ зависит от того, сколько вы пользуетесь услугой. Тогда стоимость записывают формулой с переменной и находят, при каком значении варианты стоят одинаково. До этой точки выгоднее один вариант, после неё — другой.
Таблицы и диаграммы
Данные в таких задачах часто даны таблицей: цены продуктов, условия тарифов, расписание. Не нужно переписывать всю таблицу — выберите только те строки и столбцы, которые нужны для вопроса. Проверьте единицы: в таблице цена может быть указана за 1 кг, а в рецепте — граммы; за 1 л, а в рецепте — миллилитры. На диаграмме сначала прочитайте подписи осей и цену деления.
Округление по смыслу
В жизни нельзя купить 4,8 банки краски или заказать 2,3 автобуса. Ответ округляют не по правилу «больше пяти — вверх», а по смыслу:
- вверх, если нужно, чтобы хватило: сколько купить упаковок, рулонов, банок, сколько заказать автобусов или построить кабинетов;
- вниз, если считаем, сколько получится из того, что есть: сколько тетрадей купить на данную сумму, сколько полных коробок заполнить.
Как решать задачи
- Прочитайте условие и выпишите только нужные данные с единицами.
- Переведите всё в одинаковые единицы (мм в м, мл в л, копейки в рубли).
- Составьте план: что найти сначала, что потом. При сравнении — посчитайте каждый вариант.
- Вычисляйте по действиям, подписывая, что нашли.
- Округлите ответ по смыслу задачи и проверьте его: хватает ли денег, правдоподобно ли число.
- Запишите ответ на вопрос задачи полным ответом, с единицами.
Разобранные примеры
Сколько упаковок плитки купить
Пол в ванной — прямоугольник 3,2 м × 2,5 м. Плитка продаётся упаковками по 1,44 м², одна упаковка стоит 890 р. Сколько упаковок нужно купить и сколько это будет стоить?
- пол 3,2 м × 2,5 м
- в упаковке 1,44 м²
- цена упаковки 890 р
- число упаковок и их стоимость
-
Площадь пола: \(3{,}2 \cdot 2{,}5 = 8\) м².
-
Число упаковок: \(8 : 1{,}44 \approx 5{,}56\). Пяти упаковок не хватит, округляем вверх — 6 упаковок.
-
Стоимость: \(890 \cdot 6 = 5340\) р.
Какое такси выгоднее
Такси А берёт 150 р. за посадку и 18 р. за каждый километр, такси Б — только 25 р. за километр. Какое такси выгоднее для поездки на 16 км? При какой длине пути поездки стоят одинаково?
- А — 150 р. + 18 р./км
- Б — 25 р./км
- путь 16 км
- выгодное такси и путь
- при котором цены равны
-
Такси А: \(150 + 18 \cdot 16 = 150 + 288 = 438\) р.
-
Такси Б: \(25 \cdot 16 = 400\) р. Для 16 км выгоднее такси Б — на 38 р.
-
Пусть \(x\) км — путь, при котором цены равны: \(150 + 18x = 25x\), откуда \(7x = 150\), \(x = \dfrac{150}{7} \approx 21{,}4\) км.
Значит, на поездках короче примерно 21 км выгоднее такси Б, а на более длинных — такси А.
Скидка и наценка
Куртка стоила 4000 р. В конце сезона цену снизили на 25 %, а осенью подняли на 25 %. Какой стала цена? На сколько процентов нужно было поднять сниженную цену, чтобы вернуться к 4000 р.?
- цена 4000 р.
- скидка 25 %
- затем наценка 25 %
- новую цену и процент
- возвращающий цену к 4000 р
-
После скидки: \(4000 \cdot 0{,}75 = 3000\) р.
-
После наценки: \(3000 \cdot 1{,}25 = 3750\) р. Цена стала на 250 р. меньше исходной, потому что наценку считали от 3000 р., а не от 4000 р.
-
Чтобы вернуться к 4000 р., к 3000 р. нужно прибавить 1000 р. Это \(\dfrac{1000}{3000} \cdot 100\% = 33\dfrac{1}{3}\%\).
Типичные ошибки
На 500 р. при цене 85 р. получается \(500 : 85 \approx 5{,}88\). Если округлить до 6, окажется, что шесть шоколадок стоят 510 р. — денег не хватит. А если нужно 4,2 банки краски и купить 4, стена останется недокрашенной.
Спросите себя: «Должно хватить на всё?» — тогда вверх. «Сколько получится из того, что есть?» — тогда вниз, даже если после запятой 9.
Проценты берутся от разных величин. Снижение на 20 % и рост на 20 % дают множитель \(0{,}8 \cdot 1{,}2 = 0{,}96\) — цена стала меньше на 4 %.
Переходите от процентов к множителям и перемножайте их. Чтобы вернуться к прежней величине, делите на множитель: после скидки 20 % нужно умножить на \(\dfrac{1}{0{,}8} = 1{,}25\), то есть поднять цену на 25 %.
Размеры даны в миллиметрах, а расход краски — на квадратный метр; в рецепте миллилитры, а цена — за литр. Если перемножить числа как есть, ошибка будет в тысячи раз.
Перед вычислениями переведите всё в одни единицы: 2700 мм = 2,7 м, 125 мл = 0,125 л, 26 р. 50 к. = 26,5 р. Площадь в м², если размеры в метрах.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Цену 800 р. снизили на 15 %. Какой стала цена?
Показать ответ
Ответ: А) 680 р.
Остаётся \(85\%\) цены, \(800 \cdot 0{,}85 = 680\) р.; 120 р. — это сама скидка.
-
Сок разливают в банки по 0,9 л. Сколько банок нужно, чтобы разлить 5 л сока?
Показать ответ
Ответ: 6
Делим \(5\) на \(0{,}9\), получаем около \(5{,}6\); в пять банок всё не поместится, поэтому нужно 6 банок — округляем вверх.
-
В каких задачах ответ нужно округлять вверх, даже если после запятой стоит маленькая цифра?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Сколько автобусов заказать, чтобы увезти всех туристов; В) Сколько рулонов обоев купить для комнаты
Если нужно, чтобы хватило на всех или на всё, округляют вверх; если вопрос «сколько получится из того, что есть», — вниз.
-
Цену товара сначала повысили на 10 %, а потом снизили на 10 %. Как изменилась цена по сравнению с первоначальной?
Показать ответ
Ответ: В) Уменьшилась на 1 %
Итоговый множитель \(1{,}1 \cdot 0{,}9 = 0{,}99\), то есть цена стала на \(1\%\) меньше.
-
Тариф связи — 300 р. в месяц, включено 100 минут, каждая минута сверх пакета стоит 2 р. Сколько рублей заплатит абонент за месяц, если проговорит 160 минут?
Показать ответ
Ответ: 420
Сверх пакета \(160 - 100 = 60\) минут, \(300 + 2 \cdot 60 = 420\) р.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Шоколадка стоит 85 р. Сколько шоколадок можно купить на 500 р.?
Подсказка
Разделите сумму на цену. Купить можно только целое число шоколадок, и денег должно хватить.
Решение
\(500 : 85 \approx 5{,}88\). Шесть шоколадок стоят \(6 \cdot 85 = 510\) р. — больше 500 р., поэтому округляем вниз: можно купить 5 шоколадок (\(5 \cdot 85 = 425\) р.).
Ответ
Свитер стоил 2400 р. В распродажу на него сделали скидку 30 %. Сколько теперь стоит свитер?
Подсказка
После скидки 30 % остаётся 70 % цены.
Решение
После скидки цена составляет \(100\% - 30\% = 70\%\) прежней: \(2400 \cdot 0{,}7 = 1680\) р.
Ответ
Пол площадью 18 м² красят в два слоя. На 1 м² в один слой уходит 120 г краски, краска продаётся банками по 0,9 кг. Сколько банок нужно купить?
Подсказка
Сначала найдите массу краски в килограммах, потом разделите на массу одной банки.
Решение
- Площадь с учётом двух слоёв: \(18 \cdot 2 = 36\) м².
- Краски нужно \(36 \cdot 120 = 4320\) г \(= 4{,}32\) кг.
- \(4{,}32 : 0{,}9 = 4{,}8\) банки. Четырёх банок не хватит, поэтому округляем вверх — 5 банок.
Ответ
В первом магазине сок стоит 96 р. за пакет 1 л, во втором — 138 р. за пакет 1,5 л. Где литр сока дешевле и на сколько рублей?
Подсказка
Сравнивайте цену одного литра, а не цену пакета.
Решение
Во втором магазине литр стоит \(138 : 1{,}5 = 92\) р. Это дешевле, чем 96 р., на \(96 - 92 = 4\) р.
Ответ
Разовое посещение бассейна стоит 350 р., месячный абонемент без ограничений — 4200 р. При каком наименьшем числе посещений в месяц абонемент выгоднее разовых билетов?
Подсказка
Найдите, при каком числе посещений расходы одинаковы.
Решение
Пусть \(n\) — число посещений. Разовые билеты стоят \(350n\) р. Абонемент выгоднее, если \(350n > 4200\), то есть \(n > 12\). При 12 посещениях расходы одинаковы (4200 р.), значит, абонемент выгоднее начиная с 13 посещений.
Ответ
Вклад 50 000 р. положили в банк под 8 % годовых. Проценты начисляются раз в год и прибавляются к вкладу. Сколько будет на счёте через 2 года?
Подсказка
Каждый год сумма умножается на 1,08.
Решение
Каждый год вклад увеличивается в \(1 + \dfrac{8}{100} = 1{,}08\) раза. Через год: \(50\,000 \cdot 1{,}08 = 54\,000\) р. Через два года: \(54\,000 \cdot 1{,}08 = 58\,320\) р. Обратите внимание: во второй год проценты начисляются уже на 54 000 р., поэтому прибавка больше 4000 р.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите настоящий чек из магазина или квитанцию за связь. Попросите ребёнка посчитать, сколько стоили бы покупки со скидкой 15 %, или какой тариф выгоднее при ваших реальных минутах и гигабайтах. Задачи из жизни лучше всего решаются на собственных числах семьи.
Вопросы для проверки понимания: 1) Цену снизили на 10 %, на сколько процентов её надо поднять, чтобы вернуть прежнюю? (На 11 1/9 %, не на 10 %.) 2) Сколько упаковок по 6 штук нужно купить, чтобы было 20 штук? (4, а не 3.) 3) Как сравнить, где сок дешевле: 1 л за 96 р. или 1,5 л за 138 р.? (По цене одного литра.)
На что обратить внимание. Пусть ребёнок всегда записывает единицы рядом с числами и в конце задаёт себе вопрос «а так бывает?». Ответ «нужно 2,7 автобуса» или «котлета стоит 3000 р.» — сигнал, что где-то ошибка в действиях или в округлении.