Задача 1
Если радиус круга увеличить в 2 раза, а затем уменьшить на 1 см, то площадь круга увеличится на π см². Найдите радиус круга.
Решение
- радиус \(r\) см; новый радиус \(2r - 1\) см; площадь увеличилась на \(\pi\) см²
- \(r\)
Площадь круга \(S = \pi r^2\). Составим уравнение:
Разделим обе части на \(\pi\) и получим \((2r - 1)^2 - r^2 = 1\), то есть \(4r^2 - 4r + 1 - r^2 = 1\), откуда \(3r^2 - 4r = 0\), \(r(3r - 4) = 0\).
\(r = 0\) — не подходит (радиус положителен). \(r = \dfrac{4}{3} = 1\dfrac{1}{3}\) см.
Проверка: новый радиус \(2 \cdot \dfrac{4}{3} - 1 = \dfrac{5}{3}\) см; площади \(\dfrac{16}{9}\pi\) и \(\dfrac{25}{9}\pi\) см², разность \(\dfrac{9}{9}\pi = \pi\) см². Верно.
Число \(\pi\) сократилось — ответ не зависит от того, каким приближением π пользоваться.
Ответ
Площадь круга S = πr²; разность площадей даёт уравнение, в котором π сокращается.
Подробнее — в теме «Точность десятичных приближений действительных чисел. Число π».