Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Рациональное число записывается конечной или бесконечной периодической десятичной дробью, иррациональное — бесконечной непериодической. Поэтому на практике иррациональное число заменяют десятичным приближением: если \(a < x < a + 10^{-n}\), то \(a\) и \(a + 10^{-n}\) — приближения \(x\) с точностью до \(10^{-n}\) (по недостатку и по избытку).
Подробное объяснение
Сколько стоит одна треть от 100 рублей? Точно — 33,333… рубля, но в кассе заплатят 33,33 р. Мы привыкли так поступать: бесконечную дробь заменять конечной. С иррациональными числами по-другому и не получится.
Какие бывают десятичные записи
- Рациональное число (дробь \(\dfrac{m}{n}\)) даёт либо конечную дробь (\(\dfrac{3}{8} = 0{,}375\)), либо бесконечную периодическую (\(\dfrac{5}{11} = 0{,}454545\ldots = 0{,}(45)\)). Любую цифру такой записи можно назвать сразу: период повторяется.
- Иррациональное число (\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), π) даёт бесконечную непериодическую дробь. Угадать сотую или тысячную цифру нельзя — её приходится вычислять. Калькулятор показывает лишь несколько первых цифр, и последняя из них может быть уже округлённой.
Десятичные приближения
Возьмём \(\sqrt{2}\). Так как \(1{,}4^2 = 1{,}96 < 2\), а \(1{,}5^2 = 2{,}25 > 2\), то \(1{,}4 < \sqrt{2} < 1{,}5\). Разделим этот отрезок на 10 частей: \(1{,}41^2 = 1{,}9881 < 2\), \(1{,}42^2 = 2{,}0164 > 2\), значит \(1{,}41 < \sqrt{2} < 1{,}42\).
Числа 1,41 и 1,42 отличаются от \(\sqrt{2}\) меньше чем на 0,01. Говорят, что это приближения с точностью до 0,01: 1,41 — по недостатку, 1,42 — по избытку. Каждый следующий знак уменьшает возможную ошибку в 10 раз.
Насколько приближение хорошо, показывают две величины (их вы знаете из темы о погрешностях):
- абсолютная погрешность \(|x - a|\) — на сколько ошиблись;
- относительная погрешность \(\dfrac{|x - a|}{|x|}\) — какую долю составляет ошибка, обычно в процентах.
Число π
Если прокатить колесо на один оборот, оно пройдёт путь чуть больше трёх своих диаметров. Отношение длины любой окружности к её диаметру одно и то же — это число π:
Название идёт от первой буквы греческого слова «периферия» — окружность; общепринятым обозначение сделал Леонард Эйлер в XVIII веке. В 1761 году Иоганн Ламберт доказал, что π иррационально, поэтому его цифры никогда не кончатся и не начнут повторяться.
Люди веками вычисляли всё больше знаков π: ал-Каши в XV веке — 16 знаков, Джон Мэчин в 1706 году — 100, первые компьютеры в середине XX века — тысячи. По данным учебника, в 2021 году было вычислено 62,8 триллиона знаков; с тех пор рекорд обновляли ещё не раз.
Сколько знаков нужно на самом деле
| Приближение | Относительная погрешность |
|---|---|
| 3 | около 4,5 % |
| 3,1 | около 1,3 % |
| 3,14 | около 0,05 % |
| 3,14159 | около 0,00008 % |
Для школьных задач хватает 3,14. Десяти знаков достаточно, чтобы найти длину экватора Земли с ошибкой меньше миллиметра. Остальные триллионы цифр нужны не для расчётов, а для проверки суперкомпьютеров, новых алгоритмов и для изучения самого числа π.
Как решать задачи
- Определите, какая точность нужна: до 0,1, до 0,01 или «ошибка результата меньше …».
- Для корня найдите два соседних десятичных числа нужной разрядности, между квадратами которых лежит подкоренное число, — это приближения по недостатку и по избытку.
- Если нужно округлить, посмотрите на следующую цифру: 0–4 — отбросьте, 5–9 — увеличьте последнюю оставленную цифру на 1.
- Абсолютная погрешность — модуль разности точного и приближённого значений; относительная — та же разность, делённая на точное значение.
- Если приближение числа умножают на величину (например, \(\pi d\)), ошибка результата тоже умножается на эту величину. Проверьте, укладывается ли она в нужную точность.
Разобранные примеры
Приближения √3 с точностью до 0,01
Найдите десятичные приближения числа \(\sqrt{3}\) с точностью до 0,01 по недостатку и по избытку.
Сначала десятые: \(1{,}7^2 = 2{,}89 < 3\), \(1{,}8^2 = 3{,}24 > 3\), значит \(1{,}7 < \sqrt{3} < 1{,}8\).
Теперь сотые: \(1{,}73^2 = 2{,}9929 < 3\), \(1{,}74^2 = 3{,}0276 > 3\). Значит, \(1{,}73 < \sqrt{3} < 1{,}74\).
Насколько хороша дробь 22/7
Ещё Архимед заменял π дробью \(\dfrac{22}{7}\). Найдите абсолютную и относительную погрешность этого приближения.
\(\dfrac{22}{7} = 3{,}142857\ldots\), а \(\pi = 3{,}141592\ldots\)
Абсолютная погрешность: \(3{,}142857 - 3{,}141593 \approx 0{,}0013\).
Относительная: \(\dfrac{0{,}0013}{3{,}1416} \approx 0{,}0004 = 0{,}04\,\%\). Это чуть точнее, чем 3,14 (около 0,05 %), но хуже, чем 3,1416.
Сколько знаков π нужно для колеса
Диаметр колеса 0,7 м. Хватит ли приближения π ≈ 3,14, чтобы вычислить длину обода с ошибкой меньше 1 мм? Если нет, сколько знаков нужно?
Ошибка длины обода равна \(d \cdot |\pi - p|\), где \(p\) — взятое приближение.
При \(p = 3{,}14\) ошибка равна \(0{,}7 \cdot 0{,}0016 \approx 0{,}0011\) м \(= 1{,}1\) мм — больше 1 мм, не хватает.
При \(p = 3{,}142\) разность \(|\pi - 3{,}142| \approx 0{,}0004\), ошибка \(0{,}7 \cdot 0{,}0004 \approx 0{,}0003\) м \(= 0{,}3\) мм — подходит.
Типичные ошибки
3,14 — только приближение. Число π иррационально, его десятичная запись бесконечна и не повторяется; дробь \(\dfrac{22}{7}\) тоже не равна π.
Писать \(\pi \approx 3{,}14\) и помнить, что результат с этим приближением тоже приближённый. Если в ответе можно оставить π (например, \(S = 9\pi\) см²), так и делают — это точный ответ.
Если просто отбросить цифры, получится приближение по недостатку, а не округление. Например, \(\pi = 3{,}14159\ldots\): отбрасывание до тысячных даёт 3,141, а правильное округление — 3,142, потому что следующая цифра 5.
При округлении смотрят на первую отбрасываемую цифру: 5 и больше — последнюю оставленную увеличивают на 1. Когда в задаче просят «по недостатку» или «по избытку», округление не используют.
Относительная погрешность 3,14 — это \(0{,}0016 : 3{,}14 \approx 0{,}0005\), то есть 0,05 %. Если забыть умножить на 100 %, легко записать «0,0005 %» или, наоборот, «0,5 %» — ошибка в десятки раз.
Сначала найдите долю (абсолютную погрешность разделите на модуль числа), затем умножьте на 100 %. Прикиньте: ошибка 0,0016 от числа около 3 — это примерно полтысячной, а не полсотой.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Какой десятичной дробью записывается иррациональное число?
Показать ответ
Ответ: В) Бесконечной непериодической
Конечные и периодические дроби — это рациональные числа. У иррационального числа цифры после запятой идут бесконечно и без периода.
-
Какие числа являются приближениями \(\sqrt{2} = 1{,}41421\ldots\) с точностью до 0,01?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) 1,41; Б) 1,42
Подходят числа, отличающиеся от \(\sqrt{2}\) меньше чем на 0,01. Это 1,41 (по недостатку) и 1,42 (по избытку); 1,40 и 1,43 отстоят дальше.
-
Диаметр тарелки 20 см. Чему равна длина её края в сантиметрах, если взять π ≈ 3,14?
Показать ответ
Ответ: 62,8
\(C = \pi d \approx 3{,}14 \cdot 20 = 62{,}8\) см.
-
Кто доказал, что число π иррационально?
Показать ответ
Ответ: В) Иоганн Генрих Ламберт
Ламберт доказал иррациональность π в 1761 году. Эйлер ввёл в обиход обозначение π, а ван Цейлен вычислил 35 знаков.
-
Какова примерно относительная погрешность приближения π ≈ 3,14?
Показать ответ
Ответ: А) Около 0,05 %
\(\dfrac{\pi - 3{,}14}{\pi} \approx \dfrac{0{,}0016}{3{,}14} \approx 0{,}0005 = 0{,}05\,\%\). 1,3 % даёт приближение 3,1, а 4,5 % — приближение 3.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Округлите число π до сотых и найдите абсолютную погрешность этого приближения (π ≈ 3,1415926…).
Подсказка
Абсолютная погрешность — модуль разности точного и приближённого значений.
Решение
Третья цифра после запятой — 1, она меньше 5, поэтому \(\pi \approx 3{,}14\).
Погрешность: \(|\pi - 3{,}14| = 3{,}1415926\ldots - 3{,}14 = 0{,}0015926\ldots \approx 0{,}0016\).
Ответ
Запишите число 5/11 в виде десятичной дроби и укажите его приближение с точностью до тысячных (округлением).
Подсказка
Разделите 5 на 11 уголком и посмотрите, какие цифры повторяются.
Решение
\(5 : 11 = 0{,}454545\ldots = 0{,}(45)\) — бесконечная периодическая дробь.
Четвёртая цифра после запятой — 5, поэтому округляем вверх: \(0{,}4545\ldots \approx 0{,}455\).
Ответ
Найдите относительную погрешность приближения π ≈ 3,1416 в процентах. Результат округлите до стотысячных долей процента.
Подсказка
Относительная погрешность — абсолютная погрешность, делённая на модуль точного значения.
Решение
Абсолютная погрешность: \(|3{,}1416 - 3{,}14159265\ldots| \approx 0{,}0000073\).
Относительная: \(\dfrac{0{,}0000073}{3{,}1416} \approx 0{,}0000023 = 0{,}00023\,\%\).
Ответ
Найдите длину окружности радиуса 2,5 см, взяв π ≈ 3,14. На сколько этот результат отличается от точного значения 5π см?
Подсказка
Длина окружности C = 2πr. Ошибка результата — 2r, умноженное на ошибку числа π.
Решение
\(C \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 2{,}5 = 15{,}7\) см.
Точно \(C = 2\pi \cdot 2{,}5 = 5\pi = 15{,}70796\ldots\) см. Разница \(15{,}70796\ldots - 15{,}7 \approx 0{,}008\) см, то есть меньше десятой доли миллиметра.
Ответ
Нужно вычислить длину окружности круглого резервуара диаметром 40 м с ошибкой меньше 1 см. Сколько знаков числа π после запятой для этого достаточно взять?
Подсказка
Ошибка длины окружности равна диаметру, умноженному на ошибку числа π. Проверьте приближения 3,14; 3,142; 3,1416.
Решение
Ошибка результата \(d \cdot |\pi - p|\) должна быть меньше \(0{,}01\) м, то есть \(|\pi - p| < \dfrac{0{,}01}{40} = 0{,}00025\).
- при \(p = 3{,}14\) разность \(|\pi - p| \approx 0{,}0016\) — много (ошибка около 6,4 см).
- при \(p = 3{,}142\) разность \(|\pi - p| \approx 0{,}00041\) — всё ещё больше 0,00025 (ошибка около 1,6 см).
- при \(p = 3{,}1416\) разность \(|\pi - p| \approx 0{,}0000073\) — подходит (ошибка около 0,3 мм).
Значит, нужно 4 знака после запятой.
Ответ
Число 0,1010010001… записано так, что после каждой следующей единицы стоит на один нуль больше. Рациональное это число или иррациональное? Объясните.
Подсказка
Вспомните, какой бывает десятичная запись рационального числа.
Решение
Рациональное число записывается конечной или бесконечной периодической дробью. Эта дробь бесконечна: единицы встречаются снова и снова.
Периода у неё нет: блоки нулей между единицами всё время удлиняются, поэтому никакая группа цифр не может повторяться без конца. Бесконечная непериодическая дробь — запись иррационального числа.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите кружку, нитку и линейку. Обмотайте кружку ниткой, измерьте длину нитки и диаметр кружки, разделите одно на другое — получится чуть больше 3. Обсудите, почему у всех кружек выходит примерно одно и то же число и почему у разных людей последние цифры различаются (точность измерений). Затем на калькуляторе извлеките \(\sqrt{2}\) и покажите, что \(1{,}41^2\) немного меньше 2, а \(1{,}42^2\) — немного больше.
Вопросы для проверки понимания: 1) Чем десятичная запись рационального числа отличается от записи иррационального? 2) Почему 1,41 и 1,42 — приближения \(\sqrt{2}\) с точностью до 0,01? 3) Сколько знаков π нужно, чтобы посчитать длину края тарелки, и почему не тысяча?
На что обратить внимание. Ребёнок должен различать «точное значение» и «приближение», не писать знак «=» вместо «≈» и понимать, что точность ответа не может быть выше точности исходных данных. Если вычисления с π идут в ответ, удобно оставлять π в ответе.