Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 7

Упражнение 104 к § 7

Задача 1

Условие (кратко)

а) Докажите, что функция f(x) = x + 1/x нечётная.

Решение

Область определения: $x \ne 0$ , то есть $(-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)$ — она симметрична относительно нуля.

$f(-x) = -x + \dfrac{1}{-x} = -x - \dfrac{1}{x} = -\left(x + \dfrac{1}{x}\right) = -f(x)$ .

Функция нечётная.

Ответ

Доказано: f(−x) = −f(x) при всех x ≠ 0

Почему так

Нечётная функция — симметричная область определения и f(−x) = −f(x).

Условие (кратко)

б) Докажите, что функция f(x) = 2x³ − x нечётная.

Решение

Область определения — все числа, она симметрична.

$$f(-x) = 2(-x)^3 - (-x) = -2x^3 + x = -(2x^3 - x) = -f(x)$$ .

Функция нечётная.

Ответ

Доказано: f(−x) = −f(x) при всех x

Почему так

Нечётная степень меняет знак при замене x на −x.