Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 7

Упражнение 106 к § 7

§ 7. Свойства чётности и нечётности функций · тема: Чётные и нечётные функции

Задача 1

Условие (кратко)

а) Чётная функция задана на отрезке, симметричном относительно нуля; на рисунке 14, а дана часть графика. Достройте график.

Решение

На рисунке дана часть графика при $-6 \le x \le 0$ : ломаная из точки $(-6;\ -3)$ в точку $(-5;\ 4)$ и далее в точку $(0;\ -6)$ .

График чётной функции симметричен относительно оси $$y$$ : каждую точку $(x;\ y)$ отражаем в точку $(-x;\ y)$ .

Дано	$(-6;\ -3)$	$(-5;\ 4)$	$(-3;\ 0)$	$(0;\ -6)$
Отражение	$(6;\ -3)$	$(5;\ 4)$	$(3;\ 0)$	$(0;\ -6)$

Достраиваем ломаную $(0;\ -6) \to (5;\ 4) \to (6;\ -3)$ . Весь график задан на отрезке $[-6;\ 6]$ и имеет форму буквы «М» с вершиной-впадиной в точке $(0;\ -6)$ .

Ответ

Ломаная (−6; −3) → (−5; 4) → (0; −6) → (5; 4) → (6; −3)

Почему так

График чётной функции симметричен относительно оси ординат.

Подробнее — в теме «Чётные и нечётные функции».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Чётная функция задана на отрезке, симметричном относительно нуля; на рисунке 14, б дана часть графика. Достройте график.

Решение

На рисунке даны два куска: отрезок от $(-7;\ -4)$ до $(-4;\ 3)$ и кривая при $0 \le x \le 4$ от $(0;\ -5)$ через $(1;\ -4)$ и $(3;\ 0)$ до $(4;\ 3)$ . Значит, функция задана на $[-7;\ 7]$ .

Отражаем каждый кусок относительно оси $$y$$ , точка $(x;\ y)$ переходит в $(-x;\ y)$ :

кривая на $[0;\ 4]$ даёт кривую на $[-4;\ 0]$ : от $(-4;\ 3)$ через $(-3;\ 0)$ и $(-1;\ -4)$ до $(0;\ -5)$ ;
отрезок на $[-7;\ -4]$ даёт отрезок на $[4;\ 7]$ : от $(4;\ 3)$ до $(7;\ -4)$ .

Куски стыкуются в точках $(-4;\ 3)$ и $(4;\ 3)$ , и получается сплошной график, симметричный относительно оси $$y$$ , с наименьшим значением $$-5$$ при $$x = 0$$ .