Задача 1
Условие (кратко)
Изобразите схематически графики функций y = kx при k < 0 и при k > 0. Запишите свойства функции в каждом случае.
Решение
График \(y = kx\) — прямая, проходящая через начало координат. При \(k > 0\) она идёт вверх слева направо и лежит в I и III четвертях (например, \(y = 2x\): точки \((0; 0)\) и \((1; 2)\)). При \(k < 0\) — идёт вниз и лежит во II и IV четвертях (например, \(y = -2x\): точки \((0; 0)\) и \((1; -2)\)).
| Свойство | \(k > 0\) | \(k < 0\) |
|---|---|---|
| Область определения | \((-\infty;\ +\infty)\) | \((-\infty;\ +\infty)\) |
| Множество значений | \((-\infty;\ +\infty)\) | \((-\infty;\ +\infty)\) |
| Нули | \(x = 0\) | \(x = 0\) |
| \(y > 0\) | при \(x > 0\) | при \(x < 0\) |
| \(y < 0\) | при \(x < 0\) | при \(x > 0\) |
| Монотонность | возрастает на \((-\infty;\ +\infty)\) | убывает на \((-\infty;\ +\infty)\) |
| Наиб./наим. значение | нет | нет |
| Чётность | нечётная | нечётная |
Нечётность: \(k \cdot (-x) = -kx\), график симметричен относительно начала координат.
Ответ
При k > 0: D = E = (−∞; +∞), нуль x = 0, y > 0 при x > 0, y < 0 при x < 0, возрастает, нечётная. При k < 0: то же, но y > 0 при x < 0, y < 0 при x > 0, убывает.
Почему так
Знак k определяет, в каких четвертях лежит прямая y = kx и возрастает она или убывает.
Подробнее — в теме «Графики и свойства основных видов функций».