Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 8

Упражнение 112 к § 8

§ 8. Графики и свойства некоторых видов функций · тема: Графики и свойства основных видов функций

Задача 1

Условие (кратко)

а) Постройте график функции y = −3x + 1 и опишите её свойства.

Решение

Линейная функция, график — прямая.

$$x$$	$$-1$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$
$$y$$	$$4$$	$$1$$	$$-2$$	$$-5$$

$D(y) = (-\infty;\ +\infty)$ , $E(y) = (-\infty;\ +\infty)$ .
Нуль: $$-3x + 1 = 0$$ , $x = \dfrac{1}{3}$ .
$$y > 0$$ при $x < \dfrac{1}{3}$ , $$y < 0$$ при $x > \dfrac{1}{3}$ .
$$k = -3 < 0$$ — функция убывает на $(-\infty;\ +\infty)$ .
Наибольшего и наименьшего значений нет.
Ни чётная, ни нечётная: $$y(-1) = 4$$ , $$y(1) = -2$$ .

Ответ

D = E = (−∞; +∞); нуль x = 1/3; y > 0 при x < 1/3, y < 0 при x > 1/3; убывает; наиб. и наим. значений нет; ни чётная, ни нечётная

Почему так

Линейная функция с k < 0 убывает, её нуль x = −b/k.

Подробнее — в теме «Графики и свойства основных видов функций».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Постройте график функции y = 5 + 2x и опишите её свойства.

Решение

Линейная функция $$y = 2x + 5$$ , график — прямая.

$$x$$	$$-3$$	$$-2$$	$$0$$	$$1$$
$$y$$	$$-1$$	$$1$$	$$5$$	$$7$$

$D(y) = (-\infty;\ +\infty)$ , $E(y) = (-\infty;\ +\infty)$ .
Нуль: $$2x + 5 = 0$$ , $$x = -2{,}5$$ .
$$y > 0$$ при $$x > -2{,}5$$ , $$y < 0$$ при $$x < -2{,}5$$ .
$$k = 2 > 0$$ — функция возрастает на $(-\infty;\ +\infty)$ .
Наибольшего и наименьшего значений нет.
Ни чётная, ни нечётная: $$y(-1) = 3$$ , $$y(1) = 7$$ .

Ответ

D = E = (−∞; +∞); нуль x = −2,5; y > 0 при x > −2,5, y < 0 при x < −2,5; возрастает; наиб. и наим. значений нет; ни чётная, ни нечётная

Почему так

Линейная функция с k > 0 возрастает, её нуль x = −b/k.

Подробнее — в теме «Графики и свойства основных видов функций».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Постройте график функции y = −3/x и опишите её свойства.

Решение

Обратная пропорциональность с $$k = -3 < 0$$ , график — гипербола, ветви во II и IV четвертях.

$$x$$	$$-3$$	$$-1$$	$$-0{,}5$$	$$0{,}5$$	$$1$$	$$3$$
$$y$$	$$1$$	$$3$$	$$6$$	$$-6$$	$$-3$$	$$-1$$

$$D(y)$$ : $x \ne 0$ , то есть $(-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)$ ; $$E(y)$$ : $y \ne 0$ .
Нулей нет.
$$y > 0$$ при $$x < 0$$ , $$y < 0$$ при $$x > 0$$ .
Возрастает на $(-\infty;\ 0)$ и на $(0;\ +\infty)$ .
Наибольшего и наименьшего значений нет.
Нечётная: $y(-x) = \dfrac{-3}{-x} = \dfrac{3}{x} = -y(x)$ .

Ответ

x ≠ 0, y ≠ 0; нулей нет; y > 0 при x < 0, y < 0 при x > 0; возрастает на (−∞; 0) и на (0; +∞); наиб. и наим. значений нет; нечётная

Почему так

При k < 0 ветви гиперболы y = k/x лежат во II и IV четвертях и функция возрастает на каждом из промежутков.

Подробнее — в теме «Графики и свойства основных видов функций».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Постройте график функции y = 1/(2x) и опишите её свойства.

Решение

$y = \dfrac{1}{2x} = \dfrac{0{,}5}{x}$ — обратная пропорциональность с $$k = 0{,}5 > 0$$ , ветви в I и III четвертях.

$$x$$	$$-2$$	$$-1$$	$$-0{,}5$$	$$0{,}5$$	$$1$$	$$2$$
$$y$$	$$-0{,}25$$	$$-0{,}5$$	$$-1$$	$$1$$	$$0{,}5$$	$$0{,}25$$

$$D(y)$$ : $x \ne 0$ ; $$E(y)$$ : $y \ne 0$ .
Нулей нет.
$$y > 0$$ при $$x > 0$$ , $$y < 0$$ при $$x < 0$$ .
Убывает на $(-\infty;\ 0)$ и на $(0;\ +\infty)$ .
Наибольшего и наименьшего значений нет.
Нечётная: $y(-x) = -\dfrac{1}{2x} = -y(x)$ .

Ответ

x ≠ 0, y ≠ 0; нулей нет; y > 0 при x > 0, y < 0 при x < 0; убывает на (−∞; 0) и на (0; +∞); наиб. и наим. значений нет; нечётная

Почему так

Функция 1/(2x) — обратная пропорциональность с k = 1/2 > 0, её ветви в I и III четвертях.

Подробнее — в теме «Графики и свойства основных видов функций».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Постройте график функции y = −x² и опишите её свойства.

Решение

График — парабола $$y = x^2$$ , отражённая относительно оси $$Ox$$ : вершина $(0;\ 0)$ , ветви вниз.

$$x$$	$$-2$$	$$-1$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$
$$y$$	$$-4$$	$$-1$$	$$0$$	$$-1$$	$$-4$$

$D(y) = (-\infty;\ +\infty)$ , $E(y) = (-\infty;\ 0]$ .
Нуль $$x = 0$$ .
$$y < 0$$ при $x \ne 0$ ; положительных значений нет.
Возрастает на $(-\infty;\ 0]$ , убывает на $[0;\ +\infty)$ .
Наибольшее значение $$0$$ при $$x = 0$$ , наименьшего нет.
Чётная: $$-(-x)^2 = -x^2$$ .

Ответ

D = (−∞; +∞), E = (−∞; 0]; нуль x = 0; y < 0 при x ≠ 0; возрастает на (−∞; 0], убывает на [0; +∞); наибольшее значение 0; чётная

Почему так

График y = −x² симметричен графику y = x² относительно оси Ox, поэтому все знаки и направления монотонности меняются на противоположные.

Подробнее — в теме «Графики и свойства основных видов функций».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Постройте график функции y = −x³ и опишите её свойства.

Решение

График — кубическая парабола $$y = x^3$$ , отражённая относительно оси $$Ox$$ .

$$x$$	$$-2$$	$$-1$$	$$-0{,}5$$	$$0$$	$$0{,}5$$	$$1$$	$$2$$
$$y$$	$$8$$	$$1$$	$$0{,}125$$	$$0$$	$$-0{,}125$$	$$-1$$	$$-8$$

$D(y) = (-\infty;\ +\infty)$ , $E(y) = (-\infty;\ +\infty)$ .
Нуль $$x = 0$$ .
$$y > 0$$ при $$x < 0$$ , $$y < 0$$ при $$x > 0$$ .
Убывает на $(-\infty;\ +\infty)$ .
Наибольшего и наименьшего значений нет.
Нечётная: $$-(-x)^3 = x^3 = -(-x^3)$$ .

Ответ

D = E = (−∞; +∞); нуль x = 0; y > 0 при x < 0, y < 0 при x > 0; убывает; наиб. и наим. значений нет; нечётная

Почему так

График y = −x³ симметричен графику y = x³ относительно оси Ox, поэтому функция убывает и меняет знаки на противоположные.

Подробнее — в теме «Графики и свойства основных видов функций».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Похожие задачи для тренировки