Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 8

Упражнение 113 к § 8

§ 8. Графики и свойства некоторых видов функций · тема: Графики и свойства основных видов функций

Задача 1

Условие (кратко)

а) Используя график функции y = x³, решите уравнение x³ = x + 1.

Решение

Строим в одной системе координат $$y = x^3$$ и прямую $$y = x + 1$$ (точки $(-1;\ 0)$ и $(0;\ 1)$ ).

Прямая пересекает кубическую параболу один раз, при $$x$$ между $$1$$ и $$1{,}5$$ , ведь $$1^3 = 1 < 2$$ , а $1{,}5^3 = 3{,}375 > 2{,}5$ . Уточняем: $1{,}3^3 = 2{,}197 < 2{,}3$ , $1{,}4^3 = 2{,}744 > 2{,}4$ , поэтому $x \approx 1{,}3$ .

При $$x < 1$$ других пересечений нет: на $[0;\ 1]$ прямая выше кривой, а при $$x < 0$$ разность $$x^3 - x - 1$$ не больше $-1 + \dfrac{2}{3\sqrt{3}} < 0$ — график $$y = x^3$$ лежит ниже прямой.

Ответ

x ≈ 1,3

Почему так

Корни уравнения f(x) = g(x) — абсциссы точек пересечения графиков y = f(x) и y = g(x).

Подробнее — в теме «Графики и свойства основных видов функций».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Используя график функции y = x³, решите уравнение x³ = 2x.

Решение

Строим $$y = x^3$$ и прямую $$y = 2x$$ (точки $(0;\ 0)$ и $(1;\ 2)$ ).

Графики пересекаются в трёх точках: в начале координат и при $x \approx \pm 1{,}4$ (по графику $1{,}4^3 = 2{,}744 \approx 2{,}8$ ).

Точные значения: $$x^3 - 2x = x(x^2 - 2) = 0$$ , откуда $$x = 0$$ или $x = \pm\sqrt{2} \approx \pm 1{,}41$ .

Ответ

x₁ = −√2 ≈ −1,4, x₂ = 0, x₃ = √2 ≈ 1,4

Почему так

Обе функции нечётные, поэтому точки пересечения симметричны относительно начала координат.

Подробнее — в теме «Графики и свойства основных видов функций».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Используя график функции y = x³, решите уравнение x³ = 2x + 1.

Решение

Строим $$y = x^3$$ и прямую $$y = 2x + 1$$ (точки $(0;\ 1)$ и $(-1;\ -1)$ ).

Графики пересекаются в трёх точках. Одна — в узле клетки: $(-1;\ -1)$ , проверка $(-1)^3 = -1 = 2 \cdot (-1) + 1$ . Две другие — при $x \approx -0{,}6$ и $x \approx 1{,}6$ .

Точные значения: $$x^3 - 2x - 1 = (x + 1)(x^2 - x - 1) = 0$$ , откуда $$x = -1$$ или $x = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ , то есть $x \approx -0{,}62$ и $x \approx 1{,}62$ .

Ответ

x₁ = −1, x₂ = (1 − √5)/2 ≈ −0,6, x₃ = (1 + √5)/2 ≈ 1,6

Почему так

Корни уравнения — абсциссы точек пересечения кубической параболы y = x³ и прямой y = 2x + 1.

Подробнее — в теме «Графики и свойства основных видов функций».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки