Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 8

Упражнение 114 к § 8

§ 8. Графики и свойства некоторых видов функций · тема: Графики и свойства основных видов функций

Задача 1

Условие (кратко)

а) Постройте по точкам график функции y = x² + 1 и опишите её свойства.

Решение

$$x$$	$$-2$$	$$-1$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$
$$y$$	$$5$$	$$2$$	$$1$$	$$2$$	$$5$$

График — парабола $$y = x^2$$ , поднятая на 1 вверх, вершина $(0;\ 1)$ .

$D(y) = (-\infty;\ +\infty)$ , $E(y) = [1;\ +\infty)$ .
Нулей нет: $x^2 + 1 \ge 1$ .
$$y > 0$$ при всех $$x$$ .
Убывает на $(-\infty;\ 0]$ , возрастает на $[0;\ +\infty)$ .
Наименьшее значение $$1$$ при $$x = 0$$ , наибольшего нет.
Чётная: $$(-x)^2 + 1 = x^2 + 1$$ .

Ответ

D = (−∞; +∞), E = [1; +∞); нулей нет; y > 0 при всех x; убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞); наименьшее значение 1; чётная

Почему так

Каждое значение x² + 1 на 1 больше x², поэтому график — парабола y = x², сдвинутая на 1 вверх.

Подробнее — в теме «Графики и свойства основных видов функций».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Постройте по точкам график функции y = −x² + 4 и опишите её свойства.

Решение

$$x$$	$$-3$$	$$-2$$	$$-1$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$	$$3$$
$$y$$	$$-5$$	$$0$$	$$3$$	$$4$$	$$3$$	$$0$$	$$-5$$

График — парабола ветвями вниз с вершиной $(0;\ 4)$ .

$D(y) = (-\infty;\ +\infty)$ , $E(y) = (-\infty;\ 4]$ .
Нули: $$-x^2 + 4 = 0$$ , $$x = -2$$ и $$x = 2$$ .
$$y > 0$$ при $x \in (-2;\ 2)$ , $$y < 0$$ при $x \in (-\infty;\ -2) \cup (2;\ +\infty)$ .
Возрастает на $(-\infty;\ 0]$ , убывает на $[0;\ +\infty)$ .
Наибольшее значение $$4$$ при $$x = 0$$ , наименьшего нет.
Чётная: $$-(-x)^2 + 4 = -x^2 + 4$$ .

Ответ

D = (−∞; +∞), E = (−∞; 4]; нули x = ±2; y > 0 на (−2; 2), y < 0 на (−∞; −2) ∪ (2; +∞); возрастает на (−∞; 0], убывает на [0; +∞); наибольшее значение 4; чётная

Почему так

График y = −x² + 4 — парабола y = −x², поднятая на 4 вверх; нули — решения уравнения −x² + 4 = 0.

Подробнее — в теме «Графики и свойства основных видов функций».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки