Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 9

Упражнение 118 к § 9

§ 9. Функция y = ax², её график и свойства · тема: Функция y = ax², её график и свойства

Задача 1

Условие (кратко)

Постройте график функции y = 1/4·x². а) Найдите значение y при x = −2,5; −1,5; 3,5.

Решение

$a = \dfrac{1}{4} > 0$ — ветви параболы направлены вверх, вершина $(0;\ 0)$ , парабола шире, чем $$y = x^2$$ (сжатие к оси $$x$$ в 4 раза). Таблица значений:

$$x$$	$$-4$$	$$-3$$	$$-2$$	$$-1$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$	$$3$$	$$4$$
$$y$$	$$4$$	$$2{,}25$$	$$1$$	$$0{,}25$$	$$0$$	$$0{,}25$$	$$1$$	$$2{,}25$$	$$4$$

Отмечаем точки и соединяем плавной линией.

Значения можно оценить по графику, а точно — по формуле:

$y(-2{,}5) = \dfrac{6{,}25}{4} = 1{,}5625 \approx 1{,}6$ ;

$y(-1{,}5) = \dfrac{2{,}25}{4} = 0{,}5625 \approx 0{,}6$ ;

$y(3{,}5) = \dfrac{12{,}25}{4} = 3{,}0625 \approx 3{,}1$ .

Ответ

≈ 1,6; ≈ 0,6; ≈ 3,1 (точно 1,5625; 0,5625; 3,0625)

Почему так

Значение функции находят подстановкой x в формулу или по графику.

Подробнее — в теме «Функция y = ax², её график и свойства».

Задача 2

Условие (кратко)

б) По графику функции y = 1/4·x² найдите значения x, при которых y = 5; 3; 2.

Решение

Из $\dfrac{x^2}{4} = y$ получаем $$x^2 = 4y$$ , $x = \pm 2\sqrt{y}$ .

$$y = 5$$ : $x = \pm 2\sqrt{5} \approx \pm 4{,}5$ ;

$$y = 3$$ : $x = \pm 2\sqrt{3} \approx \pm 3{,}5$ ;

$$y = 2$$ : $x = \pm 2\sqrt{2} \approx \pm 2{,}8$ .

По графику: проводим горизонтальную прямую $$y = 5$$ (3, 2) и читаем абсциссы двух точек пересечения — они симметричны относительно оси $$y$$ .

Ответ

y = 5 при x = ±2√5 ≈ ±4,5; y = 3 при x = ±2√3 ≈ ±3,5; y = 2 при x = ±2√2 ≈ ±2,8

Почему так

Каждое положительное значение функция y = ax² при a > 0 принимает в двух точках, симметричных относительно оси y.

Подробнее — в теме «Функция y = ax², её график и свойства».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Найдите промежуток возрастания и промежуток убывания функции y = 1/4·x².

Решение

$a = \dfrac{1}{4} > 0$ , ветви вверх, вершина в начале координат. Левее вершины график опускается, правее — поднимается.

Функция убывает на $(-\infty;\ 0]$ и возрастает на $[0;\ +\infty)$ .

Ответ

Убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞)

Почему так

При a > 0 функция y = ax² убывает до вершины и возрастает после неё.

Подробнее — в теме «Функция y = ax², её график и свойства».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки