а) Покажите схематически, как расположен график функции y = −1,5x², и перечислите её свойства.
Решение
Парабола с вершиной \((0;\ 0)\), ветви вниз (\(a = -1{,}5 < 0\)), чуть уже, чем \(y = -x^2\); лежит в нижней полуплоскости (в III и IV четвертях). Опорные точки: \((\pm 1;\ -1{,}5)\), \((\pm 2;\ -6)\).
Свойства:
\(D(y) = (-\infty;\ +\infty)\).
\(y = 0\) при \(x = 0\); при \(x \ne 0\)\(y < 0\).
Функция чётная, график симметричен относительно оси \(y\).
Возрастает на \((-\infty;\ 0]\), убывает на \([0;\ +\infty)\).
Наибольшее значение 0 при \(x = 0\), наименьшего нет.
\(E(y) = (-\infty;\ 0]\).
Ответ
Ветви вниз, вершина (0; 0); возрастает на (−∞; 0], убывает на [0; +∞); наибольшее значение 0; E(y) = (−∞; 0]
Почему так
При a < 0 парабола y = ax² лежит в нижней полуплоскости, ноль — наибольшее значение.
б) Покажите схематически, как расположен график функции y = 0,8x², и перечислите её свойства.
Решение
Парабола с вершиной \((0;\ 0)\), ветви вверх (\(a = 0{,}8 > 0\)), чуть шире, чем \(y = x^2\); лежит в верхней полуплоскости (в I и II четвертях). Опорные точки: \((\pm 1;\ 0{,}8)\), \((\pm 2;\ 3{,}2)\).
Свойства:
\(D(y) = (-\infty;\ +\infty)\).
\(y = 0\) при \(x = 0\); при \(x \ne 0\)\(y > 0\).
Функция чётная, график симметричен относительно оси \(y\).
Убывает на \((-\infty;\ 0]\), возрастает на \([0;\ +\infty)\).
Наименьшее значение 0 при \(x = 0\), наибольшего нет.
\(E(y) = [0;\ +\infty)\).
Ответ
Ветви вверх, вершина (0; 0); убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞); наименьшее значение 0; E(y) = [0; +∞)
Почему так
При a > 0 парабола y = ax² лежит в верхней полуплоскости, ноль — наименьшее значение.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).