Задача 1
Условие (кратко)
При каких значениях k прямая y = kx − 4 имеет с параболой y = x² только одну общую точку? (повышенной трудности)
Решение
Общие точки: \(x^2 = kx - 4\), то есть \(x^2 - kx + 4 = 0\). Одна общая точка — когда у уравнения ровно один корень, то есть дискриминант равен нулю:
\[D = k^2 - 16 = 0, \quad k = 4 \text{ или } k = -4.\]
При \(k = 4\): \(x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 = 0\), точка \((2;\ 4)\).
При \(k = -4\): \(x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 = 0\), точка \((-2;\ 4)\).
В обоих случаях прямая касается параболы.
Ответ
k = −4 или k = 4
Почему так
Прямая и парабола имеют одну общую точку, когда квадратное уравнение для их абсцисс имеет дискриминант, равный нулю.
Подробнее — в теме «Функция y = ax², её график и свойства».