Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 687

Упражнения для повторения курса 7–9 классов

Задача 1

Условие (кратко)

а) Упростите выражение (√15 + √10) · 2√5 − 5√12.

Решение

Раскроем скобки:

(\sqrt{15} + \sqrt{10}) \cdot 2\sqrt{5} = 2\sqrt{75} + 2\sqrt{50}.

Вынесем множители из-под корня: $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ , $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ , $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ .

10\sqrt{3} + 10\sqrt{2} - 10\sqrt{3} = 10\sqrt{2}.

Ответ

10√2

Почему так

Чтобы привести подобные с корнями, множитель-квадрат выносят из-под знака корня.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Упростите выражение (2√70 − 2√28)/(3√35 − 3√14).

Решение

Разложим корни так, чтобы увидеть общий множитель: $\sqrt{70} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{35}$ , $\sqrt{28} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{14}$ .

Числитель: $2\sqrt{2}\,(\sqrt{35} - \sqrt{14})$ . Знаменатель: $3\,(\sqrt{35} - \sqrt{14})$ .

Сократим на $\sqrt{35} - \sqrt{14} \ne 0$ :

\dfrac{2\sqrt{2}\,(\sqrt{35} - \sqrt{14})}{3\,(\sqrt{35} - \sqrt{14})} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}.

Ответ

2√2/3

Почему так

Дробь с корнями сокращают, вынося общий множитель в числителе и знаменателе.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Упростите выражение (2√12 − 3√3)².

Решение

Сначала упростим выражение в скобках: $2\sqrt{12} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ , поэтому

2\sqrt{12} - 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}.

(\sqrt{3})^2 = 3.

Ответ

Почему так

Выгоднее сначала привести подобные в скобках, а уже потом возводить в квадрат.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Упростите выражение (10 − 5√3)/(10 + 5√3) + (10 + 5√3)/(10 − 5√3).

Решение

Приведём к общему знаменателю $(10 + 5\sqrt{3})(10 - 5\sqrt{3}) = 100 - 75 = 25$ .

Числитель: $(10 - 5\sqrt{3})^2 + (10 + 5\sqrt{3})^2$ . Удвоенные произведения $\mp 100\sqrt{3}$ взаимно уничтожаются:

2\,(100 + 75) = 350.

\dfrac{350}{25} = 14.

Ответ

Почему так

Знаменатели — сопряжённые выражения, их произведение по формуле разности квадратов не содержит корня.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/uprazhneniya-dlya-povtoreniya-7-9/upr-687/