Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 691

Упражнения для повторения курса 7–9 классов

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найдите значение выражения 3x² − 6x − 5 при x = 1 + √2.

Решение

Выделим полный квадрат:

\[3x^2 - 6x - 5 = 3(x^2 - 2x + 1) - 3 - 5 = 3(x - 1)^2 - 8.\]

При $x = 1 + \sqrt{2}$ : $x - 1 = \sqrt{2}$ , $$(x - 1)^2 = 2$$ .

3 \cdot 2 - 8 = -2.

Ответ

−2

Почему так

Выделение полного квадрата превращает подстановку иррационального числа в простое вычисление.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Найдите значение выражения (x² − x − 5)/(x − 1) при x = √5 + 1.

Решение

Обозначим $t = x - 1 = \sqrt{5}$ , тогда $$x = t + 1$$ .

Числитель: $x^2 - x - 5 = (t + 1)^2 - (t + 1) - 5 = t^2 + t - 5 = 5 + \sqrt{5} - 5 = \sqrt{5}$ .

Знаменатель: $x - 1 = \sqrt{5}$ .

\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 1.

Ответ

Почему так

Замена t = x − 1 упрощает выражение, потому что t² — рациональное число.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/uprazhneniya-dlya-povtoreniya-7-9/upr-691/