Задача 1
Условие (кратко)
Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии (xₙ), если x₂ = −32 и q = −1/2.
Решение
Первый член: \(x_1 = \dfrac{x_2}{q} = \dfrac{-32}{-\frac{1}{2}} = 64\).
По формуле \(S_n = \dfrac{x_1(1 - q^n)}{1 - q}\):
\[S_{10} = \dfrac{64\left(1 - \frac{1}{1024}\right)}{1 + \frac{1}{2}} = \dfrac{64 \cdot \frac{1023}{1024}}{\frac{3}{2}} = \dfrac{1023}{16} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{341}{8} = 42\dfrac{5}{8}.\]
Здесь \(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{10} = \dfrac{1}{1024}\) — чётная степень.
Ответ
42 5/8
Почему так
Сумма первых n членов геометрической прогрессии: Sₙ = x₁(1 − qⁿ)/(1 − q).
Подробнее — в теме «Сумма первых n членов геометрической прогрессии».