Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 699

Упражнения для повторения курса 7–9 классов

Задача 1

Условие (кратко)

а) Преобразовать в многочлен: $$(x - 2y)(x + 2y) + 4y^2$$ .

Решение

Произведение разности и суммы — разность квадратов:

\[(x - 2y)(x + 2y) = x^2 - 4y^2.\]

Тогда

\(x^2 - 4y^2 + 4y^2 = x^2\)

Ответ

x²

Почему так

Используем формулу (a − b)(a + b) = a² − b², после чего −4y² и 4y² взаимно уничтожаются.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Преобразовать в многочлен: $$(2a - 3b)(2a + 3b) - 3a^2$$ .

Решение

\[(2a - 3b)(2a + 3b) = 4a^2 - 9b^2,\]

\[4a^2 - 9b^2 - 3a^2 = a^2 - 9b^2.\]

Ответ

a² − 9b²

Почему так

Разность квадратов, затем приведение подобных слагаемых 4a² и −3a².

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Преобразовать в многочлен: $$(5x - 1)^2 + 10x$$ .

Решение

Квадрат разности:

\[(5x - 1)^2 = 25x^2 - 10x + 1.\]

Прибавляем

\(10x\)

и получаем

\(25x^2 - 10x + 1 + 10x = 25x^2 + 1\)

Ответ

25x² + 1

Почему так

Квадрат разности (a − b)² = a² − 2ab + b²; удвоенное произведение −10x сокращается с +10x.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Преобразовать в многочлен: $$(3y + 4z)^2 - 8z(3y - 2z)$$ .

Решение

(3y + 4z)^2 = 9y^2 + 24yz + 16z^2,\qquad 8z(3y - 2z) = 24yz - 16z^2.

Вычитаем:

\[9y^2 + 24yz + 16z^2 - 24yz + 16z^2 = 9y^2 + 32z^2.\]

Ответ

9y² + 32z²

Почему так

Квадрат суммы и умножение одночлена на многочлен; при вычитании знаки в скобке меняются.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Преобразовать в многочлен: $$(m - 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2) + 6n^3$$ .

Решение

Вторая скобка — неполный квадрат суммы $$m$$ и $$2n$$ , поэтому произведение — разность кубов:

\[(m - 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2) = m^3 - (2n)^3 = m^3 - 8n^3.\]

Тогда

\(m^3 - 8n^3 + 6n^3 = m^3 - 2n^3\)

Ответ

m³ − 2n³

Почему так

Формула разности кубов: (a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Преобразовать в многочлен: $$(c^2 + 4d)(c^4 - 4c^2d + 16d^2) - c^2(c^4 - 1)$$ .

Решение

Первое произведение — сумма кубов $$c^2$$ и $$4d$$ :

\[(c^2 + 4d)(c^4 - 4c^2d + 16d^2) = (c^2)^3 + (4d)^3 = c^6 + 64d^3.\]

Второе:

\(c^2(c^4 - 1) = c^6 - c^2\)

. Вычитаем:

\[c^6 + 64d^3 - c^6 + c^2 = 64d^3 + c^2.\]

Ответ

64d³ + c²

Почему так

Формула суммы кубов: (a + b)(a² − ab + b²) = a³ + b³.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 7

Условие (кратко)

ж) Преобразовать в многочлен: $$(3x - 4y)^2 - (2x - 7y)(4x + 2y)$$ .

Решение

\[(3x - 4y)^2 = 9x^2 - 24xy + 16y^2,\]

\[(2x - 7y)(4x + 2y) = 8x^2 + 4xy - 28xy - 14y^2 = 8x^2 - 24xy - 14y^2.\]

Вычитаем (знаки второго многочлена меняются):

\[9x^2 - 24xy + 16y^2 - 8x^2 + 24xy + 14y^2 = x^2 + 30y^2.\]

Ответ

x² + 30y²

Почему так

Квадрат разности и умножение многочленов, затем приведение подобных.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 8

Условие (кратко)

з) Преобразовать в многочлен: $$2x(2x + 3)^2 - (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)$$ .

Решение

\[2x(2x + 3)^2 = 2x(4x^2 + 12x + 9) = 8x^3 + 24x^2 + 18x.\]

Второе произведение — разность кубов: $$(2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) = 8x^3 - 27$$ .

\[8x^3 + 24x^2 + 18x - 8x^3 + 27 = 24x^2 + 18x + 27.\]

Ответ

24x² + 18x + 27

Почему так

Квадрат суммы и формула разности кубов (a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/uprazhneniya-dlya-povtoreniya-7-9/upr-699/