Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 701

Упражнения для повторения курса 7–9 классов

Задача 1

Условие (кратко)

а) Доказать тождество: $$(a + 2b)(a - 2b)(a^2 + 4b^2) = a^4 - 16b^4$$ .

Решение

Преобразуем левую часть. Первые два множителя дают разность квадратов:

\[(a + 2b)(a - 2b) = a^2 - 4b^2.\]

Ещё раз разность квадратов:

\[(a^2 - 4b^2)(a^2 + 4b^2) = a^4 - 16b^4.\]

Левая часть равна правой — тождество доказано.

Ответ

Тождество верно: левая часть сводится к a⁴ − 16b⁴.

Почему так

Формулу разности квадратов применяем дважды подряд.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Доказать тождество: $$(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) = x^8 - 1$$ .

Решение

Умножаем множители по порядку, каждый раз по формуле разности квадратов:

\[(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1,\]

\[(x^2 - 1)(x^2 + 1) = x^4 - 1,\]

\[(x^4 - 1)(x^4 + 1) = x^8 - 1.\]

Левая часть равна правой — тождество доказано.

Ответ

Тождество верно: левая часть сводится к x⁸ − 1.

Почему так

Разность квадратов применяется по цепочке три раза.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Доказать тождество: $$(a - 2)(a + 2)(a^2 - 2a + 4)(a^2 + 2a + 4) = a^6 - 64$$ .

Решение

Сгруппируем множители иначе:

(a - 2)(a^2 + 2a + 4) = a^3 - 8 \quad\text{(разность кубов)},

(a + 2)(a^2 - 2a + 4) = a^3 + 8 \quad\text{(сумма кубов)}.

Тогда левая часть равна

\((a^3 - 8)(a^3 + 8) = a^6 - 64\)

— тождество доказано.

Ответ

Тождество верно: левая часть равна (a³ − 8)(a³ + 8) = a⁶ − 64.

Почему так

Перегруппировка множителей даёт разность и сумму кубов, затем разность квадратов.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Доказать тождество: $$(c^2 - c - 2)(c^2 + c - 2) = c^4 - 5c^2 + 4$$ .

Решение

Запишем множители как разность и сумму одних и тех же выражений:

(c^2 - c - 2)(c^2 + c - 2) = \big((c^2 - 2) - c\big)\big((c^2 - 2) + c\big) = (c^2 - 2)^2 - c^2.

\[(c^2 - 2)^2 - c^2 = c^4 - 4c^2 + 4 - c^2 = c^4 - 5c^2 + 4.\]

Левая часть равна правой — тождество доказано.

Ответ

Тождество верно: левая часть равна (c² − 2)² − c² = c⁴ − 5c² + 4.

Почему так

Выделяем общую часть c² − 2 и применяем разность квадратов.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/uprazhneniya-dlya-povtoreniya-7-9/upr-701/