Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 704

Упражнения для повторения курса 7–9 классов

Задача 1

Условие (кратко)

а) Разложить на множители квадратный трёхчлен $$x^2 - x - 42$$ .

Решение

Корни уравнения $$x^2 - x - 42 = 0$$ найдём через дискриминант, $$D = 1 + 168 = 169$$ , $x = \dfrac{1 \pm 13}{2}$ , то есть $$x_1 = 7$$ , $$x_2 = -6$$ .

\[x^2 - x - 42 = (x - 7)(x + 6).\]

Ответ

(x − 7)(x + 6)

Почему так

Если x₁ и x₂ — корни трёхчлена ax² + bx + c, то ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Разложить на множители квадратный трёхчлен $$y^2 + 9y + 18$$ .

Решение

$$D = 81 - 72 = 9$$ , $y = \dfrac{-9 \pm 3}{2}$ , откуда $$y_1 = -3$$ , $$y_2 = -6$$ .

\[y^2 + 9y + 18 = (y + 3)(y + 6).\]

Ответ

(y + 3)(y + 6)

Почему так

Если x₁ и x₂ — корни трёхчлена ax² + bx + c, то ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Разложить на множители квадратный трёхчлен $$81x^2 + 18x + 1$$ .

Решение

Это полный квадрат: $$81x^2 = (9x)^2$$ , $$1 = 1^2$$ , $18x = 2 \cdot 9x \cdot 1$ .

\[81x^2 + 18x + 1 = (9x + 1)^2.\]

Ответ

(9x + 1)²

Почему так

Трёхчлен с нулевым дискриминантом — полный квадрат двучлена.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Разложить на множители квадратный трёхчлен $$16b^2 - 24b + 9$$ .

Решение

Полный квадрат: $$16b^2 = (4b)^2$$ , $$9 = 3^2$$ , $24b = 2 \cdot 4b \cdot 3$ .

\[16b^2 - 24b + 9 = (4b - 3)^2.\]

Ответ

(4b − 3)²

Почему так

Трёхчлен с нулевым дискриминантом — квадрат разности.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Разложить на множители квадратный трёхчлен $$6x^2 - x - 1$$ .

Решение

$$D = 1 + 24 = 25$$ , $x = \dfrac{1 \pm 5}{12}$ , откуда $x_1 = \dfrac{1}{2}$ , $x_2 = -\dfrac{1}{3}$ .

6x^2 - x - 1 = 6\left(x - \dfrac{1}{2}\right)\left(x + \dfrac{1}{3}\right) = (2x - 1)(3x + 1).

(Множитель 6 = 2 · 3 распределили по скобкам.)

Ответ

(2x − 1)(3x + 1)

Почему так

Если x₁ и x₂ — корни трёхчлена ax² + bx + c, то ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Разложить на множители квадратный трёхчлен $$3a^2 - 13a - 10$$ .

Решение

$$D = 169 + 120 = 289 = 17^2$$ , $a = \dfrac{13 \pm 17}{6}$ , откуда $$a_1 = 5$$ , $a_2 = -\dfrac{2}{3}$ .

3a^2 - 13a - 10 = 3(a - 5)\left(a + \dfrac{2}{3}\right) = (a - 5)(3a + 2).

Ответ

(a − 5)(3a + 2)

Почему так

Если x₁ и x₂ — корни трёхчлена ax² + bx + c, то ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/uprazhneniya-dlya-povtoreniya-7-9/upr-704/