Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 705

Упражнения для повторения курса 7–9 классов

Задача 1

Условие (кратко)

а) Сократить дробь \(\dfrac{21a^3 - 6a^2b}{12ab - 42a^2}\).

Решение
\[\dfrac{21a^3 - 6a^2b}{12ab - 42a^2} = \dfrac{3a^2(7a - 2b)}{6a(2b - 7a)} = \dfrac{3a^2(7a - 2b)}{-6a(7a - 2b)} = -\dfrac{a}{2}.\]

Скобки \(2b - 7a\) и \(7a - 2b\) противоположны, поэтому появляется минус.

Ответ
−a/2
Почему так

Вынесение общего множителя; противоположные выражения отличаются знаком.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Сократить дробь \(\dfrac{6m^3 + 3mn^2}{2m^3n + mn^3}\).

Решение
\[\dfrac{6m^3 + 3mn^2}{2m^3n + mn^3} = \dfrac{3m(2m^2 + n^2)}{mn(2m^2 + n^2)} = \dfrac{3}{n}.\]
Ответ
3/n
Почему так

Раскладываем числитель и знаменатель на множители и сокращаем общий множитель.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Сократить дробь \(\dfrac{x^2 - 2mx + 3x - 6m}{x^2 + 2mx + 3x + 6m}\).

Решение

Группировка в числителе и знаменателе:

\[x^2 - 2mx + 3x - 6m = x(x - 2m) + 3(x - 2m) = (x - 2m)(x + 3),\]
\[x^2 + 2mx + 3x + 6m = x(x + 2m) + 3(x + 2m) = (x + 2m)(x + 3).\]
\[\dfrac{(x - 2m)(x + 3)}{(x + 2m)(x + 3)} = \dfrac{x - 2m}{x + 2m}.\]

Ответ
(x − 2m)/(x + 2m)
Почему так

Способ группировки даёт общий множитель x + 3, на него сокращаем.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Сократить дробь \(\dfrac{8ab + 2a - 20b - 5}{4ab - 8b^2 + a - 2b}\).

Решение
\[8ab + 2a - 20b - 5 = 2a(4b + 1) - 5(4b + 1) = (4b + 1)(2a - 5),\]
\[4ab - 8b^2 + a - 2b = 4b(a - 2b) + (a - 2b) = (a - 2b)(4b + 1).\]
\[\dfrac{(4b + 1)(2a - 5)}{(a - 2b)(4b + 1)} = \dfrac{2a - 5}{a - 2b}.\]
Ответ
(2a − 5)/(a − 2b)
Почему так

Группировка в числителе и знаменателе выявляет общий множитель 4b + 1.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Сократить дробь \(\dfrac{16a^2 - 8ab + b^2}{16a^2 - b^2}\).

Решение

Числитель — квадрат разности, знаменатель — разность квадратов:

\[\dfrac{(4a - b)^2}{(4a - b)(4a + b)} = \dfrac{4a - b}{4a + b}.\]

Ответ
(4a − b)/(4a + b)
Почему так

Формулы квадрата разности и разности квадратов.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Сократить дробь \(\dfrac{9x^2 - 25y^2}{9x^2 + 30xy + 25y^2}\).

Решение
\[\dfrac{(3x - 5y)(3x + 5y)}{(3x + 5y)^2} = \dfrac{3x - 5y}{3x + 5y}.\]
Ответ
(3x − 5y)/(3x + 5y)
Почему так

Числитель — разность квадратов, знаменатель — квадрат суммы.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 7

Условие (кратко)

ж) Сократить дробь \(\dfrac{a^2 - 3a}{a^2 + 3a - 18}\).

Решение

Числитель: \(a(a - 3)\). Знаменатель: корни \(a^2 + 3a - 18 = 0\) — это \(3\) и \(-6\), значит \(a^2 + 3a - 18 = (a - 3)(a + 6)\).

\[\dfrac{a(a - 3)}{(a - 3)(a + 6)} = \dfrac{a}{a + 6}.\]

Ответ
a/(a + 6)
Почему так

Квадратный трёхчлен раскладываем по его корням и сокращаем общий множитель a − 3.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 8

Условие (кратко)

з) Сократить дробь \(\dfrac{4x^2 - 8x + 3}{4x^2 - 1}\).

Решение

Корни \(4x^2 - 8x + 3 = 0\) найдём через дискриминант, \(D = 64 - 48 = 16\), \(x = \dfrac{8 \pm 4}{8}\), то есть \(\dfrac{3}{2}\) и \(\dfrac{1}{2}\). Значит

\[4x^2 - 8x + 3 = 4\left(x - \dfrac{3}{2}\right)\left(x - \dfrac{1}{2}\right) = (2x - 3)(2x - 1).\]
Знаменатель: \(4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)\).
\[\dfrac{(2x - 3)(2x - 1)}{(2x - 1)(2x + 1)} = \dfrac{2x - 3}{2x + 1}.\]
В ответах учебника указано \(\dfrac{2x - 3}{2x + 2}\) — это опечатка: знаменатель \(4x^2 - 1\) даёт \(2x + 1\) (проверка: при \(x = 2\) дробь равна \(\dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5}\), и \(\dfrac{2 \cdot 2 - 3}{2 \cdot 2 + 1} = \dfrac{1}{5}\)).

Ответ
(2x − 3)/(2x + 1)
Почему так

Трёхчлен раскладываем по корням, знаменатель — по формуле разности квадратов.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 9

Условие (кратко)

и) Сократить дробь \(\dfrac{m^2 + 4m - 5}{m^2 + 7m + 10}\).

Решение

Корни числителя: \(1\) и \(-5\), поэтому \(m^2 + 4m - 5 = (m - 1)(m + 5)\). Корни знаменателя: \(-2\) и \(-5\), поэтому \(m^2 + 7m + 10 = (m + 2)(m + 5)\).

\[\dfrac{(m - 1)(m + 5)}{(m + 2)(m + 5)} = \dfrac{m - 1}{m + 2}.\]

Ответ
(m − 1)/(m + 2)
Почему так

Оба трёхчлена раскладываем по корням и сокращаем на m + 5.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

Опечатка, неверный ответ, непонятное объяснение — напишите, что не так. Мы проверим и исправим.

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/uprazhneniya-dlya-povtoreniya-7-9/upr-705/