Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 707

Упражнения для повторения курса 7–9 классов

Задача 1

Условие (кратко)

а) Упростить: \(\dfrac{2}{x^2 - 3x} - \dfrac{1}{x^2 + 3x} - \dfrac{x + 1}{x^2 - 9}\).

Решение

Знаменатели: \(x(x - 3)\), \(x(x + 3)\), \((x - 3)(x + 3)\); общий знаменатель \(x(x - 3)(x + 3)\). Числитель:

\[2(x + 3) - (x - 3) - x(x + 1) = 2x + 6 - x + 3 - x^2 - x = 9 - x^2.\]
\[\dfrac{9 - x^2}{x(x^2 - 9)} = -\dfrac{1}{x}.\]

Ответ
−1/x
Почему так

Приводим дроби к общему знаменателю; числитель 9 − x² противоположен множителю x² − 9.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Упростить: \(\dfrac{2y + 1}{y^2 + 3y} + \dfrac{y + 2}{3y - y^2} - \dfrac{1}{y}\).

Решение

\(y^2 + 3y = y(y + 3)\), \(3y - y^2 = -y(y - 3)\). Общий знаменатель \(y(y + 3)(y - 3)\):

\[\dfrac{(2y + 1)(y - 3) - (y + 2)(y + 3) - (y^2 - 9)}{y(y + 3)(y - 3)}.\]
Числитель: \(2y^2 - 5y - 3 - y^2 - 5y - 6 - y^2 + 9 = -10y\).
\[\dfrac{-10y}{y(y^2 - 9)} = -\dfrac{10}{y^2 - 9} = \dfrac{10}{9 - y^2}.\]

Ответ
10/(9 − y²)
Почему так

Знаменатель 3y − y² записываем как −y(y − 3), меняя знак перед дробью.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Упростить: \(\dfrac{a^2 + 16a + 12}{a^3 - 8} - \dfrac{2 - 3a}{a^2 + 2a + 4} - \dfrac{3}{a - 2}\).

Решение

\(a^3 - 8 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)\) — это и есть общий знаменатель. Числитель:

\[a^2 + 16a + 12 - (2 - 3a)(a - 2) - 3(a^2 + 2a + 4).\]
\((2 - 3a)(a - 2) = -3a^2 + 8a - 4\), поэтому
\[a^2 + 16a + 12 + 3a^2 - 8a + 4 - 3a^2 - 6a - 12 = a^2 + 2a + 4.\]
\[\dfrac{a^2 + 2a + 4}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} = \dfrac{1}{a - 2}.\]

Ответ
1/(a − 2)
Почему так

Разность кубов a³ − 8 = (a − 2)(a² + 2a + 4) даёт общий знаменатель.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Упростить: \(\dfrac{2}{4b^2 - 6b + 9} + \dfrac{4b^2 + 18}{8b^3 + 27} - \dfrac{1}{2b + 3}\).

Решение

\(8b^3 + 27 = (2b + 3)(4b^2 - 6b + 9)\) — общий знаменатель. Числитель:

\[2(2b + 3) + 4b^2 + 18 - (4b^2 - 6b + 9) = 4b + 6 + 4b^2 + 18 - 4b^2 + 6b - 9 = 10b + 15 = 5(2b + 3).\]
\[\dfrac{5(2b + 3)}{(2b + 3)(4b^2 - 6b + 9)} = \dfrac{5}{4b^2 - 6b + 9}.\]

Ответ
5/(4b² − 6b + 9)
Почему так

Сумма кубов 8b³ + 27 = (2b + 3)(4b² − 6b + 9) даёт общий знаменатель.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

Опечатка, неверный ответ, непонятное объяснение — напишите, что не так. Мы проверим и исправим.

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/uprazhneniya-dlya-povtoreniya-7-9/upr-707/