Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 708

Упражнения для повторения курса 7–9 классов

Задача 1

Условие (кратко)

а) Представить в виде дроби: $\dfrac{ab^2 - 16a}{5b^3} \cdot \dfrac{20b^5}{a^2b + 4a^2}$ .

Решение

$$ab^2 - 16a = a(b - 4)(b + 4)$$ , $$a^2b + 4a^2 = a^2(b + 4)$$ .

\dfrac{a(b - 4)(b + 4) \cdot 20b^5}{5b^3 \cdot a^2(b + 4)} = \dfrac{4b^2(b - 4)}{a} = \dfrac{4b^3 - 16b^2}{a}.

Ответ

(4b³ − 16b²)/a

Почему так

Раскладываем числители и знаменатели на множители, перемножаем и сокращаем.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Представить в виде дроби: $\dfrac{7xy}{x^2 - 4xy + 4y^2} \cdot \dfrac{3x - 6y}{14y^2}$ .

Решение

$$x^2 - 4xy + 4y^2 = (x - 2y)^2$$ , $$3x - 6y = 3(x - 2y)$$ .

\dfrac{7xy \cdot 3(x - 2y)}{(x - 2y)^2 \cdot 14y^2} = \dfrac{3x}{2y(x - 2y)} = \dfrac{3x}{2xy - 4y^2}.

Ответ

3x/(2xy − 4y²)

Почему так

Знаменатель первой дроби — квадрат разности; сокращаем на 7y(x − 2y).

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Представить в виде дроби: $\dfrac{p^3 - 125}{8p^2} \cdot \dfrac{4p}{p^2 + 5p + 25}$ .

Решение

$$p^3 - 125 = (p - 5)(p^2 + 5p + 25)$$ — разность кубов.

\dfrac{(p - 5)(p^2 + 5p + 25) \cdot 4p}{8p^2(p^2 + 5p + 25)} = \dfrac{p - 5}{2p}.

Ответ

(p − 5)/(2p)

Почему так

Разность кубов p³ − 125 содержит множитель p² + 5p + 25, на который и сокращаем.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Представить в виде дроби: $\dfrac{9m^2 - 12mn + 4n^2}{3m^3 + 24n^3} \cdot \dfrac{3m + 6n}{2n - 3m}$ .

Решение

$$9m^2 - 12mn + 4n^2 = (3m - 2n)^2$$ , $$3m^3 + 24n^3 = 3(m^3 + 8n^3) = 3(m + 2n)(m^2 - 2mn + 4n^2)$$ , $$3m + 6n = 3(m + 2n)$$ .

\dfrac{(3m - 2n)^2 \cdot 3(m + 2n)}{3(m + 2n)(m^2 - 2mn + 4n^2)(2n - 3m)}.

Так как

\(2n - 3m = -(3m - 2n)\)

, сокращаем на

\(3(m + 2n)(3m - 2n)\)

-\dfrac{3m - 2n}{m^2 - 2mn + 4n^2} = \dfrac{2n - 3m}{m^2 - 2mn + 4n^2}.

Ответ

(2n − 3m)/(m² − 2mn + 4n²)

Почему так

Квадрат разности, сумма кубов и противоположные множители 3m − 2n и 2n − 3m.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/uprazhneniya-dlya-povtoreniya-7-9/upr-708/