Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 710

Упражнения для повторения курса 7–9 классов

Задача 1

Условие (кратко)

а) Упростить: $\left(\dfrac{7(m - 2)}{m^3 - 8} - \dfrac{m + 2}{m^2 + 2m + 4}\right) \cdot \dfrac{2m^2 + 4m + 8}{m - 3}$ .

Решение

$$m^3 - 8 = (m - 2)(m^2 + 2m + 4)$$ , поэтому $\dfrac{7(m - 2)}{m^3 - 8} = \dfrac{7}{m^2 + 2m + 4}$ (при $m \ne 2$ ). Скобка: $\dfrac{7 - (m + 2)}{m^2 + 2m + 4} = \dfrac{5 - m}{m^2 + 2m + 4}$ .

\dfrac{5 - m}{m^2 + 2m + 4} \cdot \dfrac{2(m^2 + 2m + 4)}{m - 3} = \dfrac{2(5 - m)}{m - 3} = \dfrac{10 - 2m}{m - 3}.

Ответ

(10 − 2m)/(m − 3)

Почему так

Разность кубов m³ − 8 позволяет сократить первую дробь; 2m² + 4m + 8 = 2(m² + 2m + 4).

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Упростить: $\dfrac{a + 5}{a^2 - 9} : \left(\dfrac{a + 2}{a^2 - 3a + 9} - \dfrac{2(a + 8)}{a^3 + 27}\right)$ .

Решение

Скобка. $$a^3 + 27 = (a + 3)(a^2 - 3a + 9)$$ — общий знаменатель:

\dfrac{(a + 2)(a + 3) - 2(a + 8)}{(a + 3)(a^2 - 3a + 9)} = \dfrac{a^2 + 3a - 10}{(a + 3)(a^2 - 3a + 9)} = \dfrac{(a + 5)(a - 2)}{(a + 3)(a^2 - 3a + 9)}.

Деление:

\dfrac{a + 5}{(a - 3)(a + 3)} \cdot \dfrac{(a + 3)(a^2 - 3a + 9)}{(a + 5)(a - 2)} = \dfrac{a^2 - 3a + 9}{(a - 3)(a - 2)} = \dfrac{a^2 - 3a + 9}{a^2 - 5a + 6}.

Ответ

(a² − 3a + 9)/(a² − 5a + 6)

Почему так

Сумма кубов a³ + 27 даёт общий знаменатель; трёхчлен a² + 3a − 10 раскладываем по корням 2 и −5.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Упростить: $\left(\dfrac{x + 2}{3x} - \dfrac{2}{x - 2} - \dfrac{x - 14}{3x^2 - 6x}\right) : \dfrac{x + 2}{6x} \cdot \dfrac{1}{x - 5}$ .

Решение

Скобка. Общий знаменатель $$3x(x - 2)$$ :

\dfrac{(x + 2)(x - 2) - 6x - (x - 14)}{3x(x - 2)} = \dfrac{x^2 - 7x + 10}{3x(x - 2)} = \dfrac{(x - 2)(x - 5)}{3x(x - 2)} = \dfrac{x - 5}{3x}.

Деление и умножение выполняем по порядку, слева направо:

\dfrac{x - 5}{3x} \cdot \dfrac{6x}{x + 2} \cdot \dfrac{1}{x - 5} = \dfrac{2}{x + 2}.

Ответ

2/(x + 2)

Почему так

Сначала действие в скобках, потом деление и умножение слева направо; x² − 7x + 10 = (x − 2)(x − 5).

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Упростить: $\left(\dfrac{4x}{9 - x^2} - \dfrac{x - 3}{9 + 3x}\right) \cdot \dfrac{18}{x + 3} - \dfrac{2x}{3 - x}$ .

Решение

Скобка. $$9 - x^2 = (3 - x)(3 + x)$$ , $$9 + 3x = 3(3 + x)$$ ; общий знаменатель $$3(3 - x)(3 + x)$$ :

\dfrac{12x - (x - 3)(3 - x)}{3(3 - x)(3 + x)} = \dfrac{12x + (x - 3)^2}{3(3 - x)(3 + x)} = \dfrac{x^2 + 6x + 9}{3(3 - x)(3 + x)} = \dfrac{x + 3}{3(3 - x)}.

Умножаем:

\dfrac{x + 3}{3(3 - x)} \cdot \dfrac{18}{x + 3} = \dfrac{6}{3 - x}

. Вычитаем:

\dfrac{6}{3 - x} - \dfrac{2x}{3 - x} = \dfrac{2(3 - x)}{3 - x} = 2

Ответ

Почему так

Числитель 12x + (x − 3)² — полный квадрат (x + 3)², после чего всё сокращается до числа.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/uprazhneniya-dlya-povtoreniya-7-9/upr-710/