Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 711

Упражнения для повторения курса 7–9 классов

Задача 1

Условие (кратко)

а) Преобразовать выражение: \(\dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{3m}{1 - 3m} + \dfrac{2m}{3m + 1}\right) \cdot \dfrac{9m^2 - 6m + 1}{6m^2 + 10m}\).

Решение

Скобка:

\[\dfrac{3m(3m + 1) + 2m(1 - 3m)}{(1 - 3m)(1 + 3m)} = \dfrac{3m^2 + 5m}{(1 - 3m)(1 + 3m)} = \dfrac{m(3m + 5)}{(1 - 3m)(1 + 3m)}.\]
\(9m^2 - 6m + 1 = (1 - 3m)^2\), \(6m^2 + 10m = 2m(3m + 5)\). Произведение:
\[\dfrac{m(3m + 5)}{(1 - 3m)(1 + 3m)} \cdot \dfrac{(1 - 3m)^2}{2m(3m + 5)} = \dfrac{1 - 3m}{2(1 + 3m)}.\]
Прибавляем \(\dfrac{1}{2}\):
\[\dfrac{1 + 3m + 1 - 3m}{2(1 + 3m)} = \dfrac{2}{2(1 + 3m)} = \dfrac{1}{1 + 3m}.\]

Ответ
1/(1 + 3m)
Почему так

Порядок действий: скобка, умножение, сложение; 9m² − 6m + 1 = (1 − 3m)².

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Преобразовать выражение: \(\left(\dfrac{1}{x + y} - \dfrac{y^2}{xy^2 - x^3}\right) : \left(\dfrac{x - y}{x^2 + xy} - \dfrac{x}{y^2 + xy}\right) - \dfrac{x}{x + y}\).

Решение

Первая скобка. \(xy^2 - x^3 = x(y - x)(y + x)\):

\[\dfrac{x(y - x) - y^2}{x(y - x)(x + y)} = \dfrac{xy - x^2 - y^2}{x(y - x)(x + y)}.\]
Вторая скобка. \(x^2 + xy = x(x + y)\), \(y^2 + xy = y(x + y)\):
\[\dfrac{y(x - y) - x^2}{xy(x + y)} = \dfrac{xy - x^2 - y^2}{xy(x + y)}.\]
Частное:
\[\dfrac{xy - x^2 - y^2}{x(y - x)(x + y)} \cdot \dfrac{xy(x + y)}{xy - x^2 - y^2} = \dfrac{y}{y - x}.\]
Вычитаем:
\[\dfrac{y}{y - x} - \dfrac{x}{x + y} = \dfrac{y(x + y) - x(y - x)}{(y - x)(y + x)} = \dfrac{x^2 + y^2}{y^2 - x^2}.\]

Ответ
(x² + y²)/(y² − x²)
Почему так

В обеих скобках получается один и тот же числитель xy − x² − y², он сокращается при делении.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Преобразовать выражение: \(\dfrac{2a + 3}{2a - 3} \cdot \left(\dfrac{2a^2 + 3a}{4a^2 + 12a + 9} - \dfrac{3a + 2}{2a + 3}\right) + \dfrac{4a - 1}{2a - 3} - \dfrac{a - 1}{a}\).

Решение

Скобка. \(2a^2 + 3a = a(2a + 3)\), \(4a^2 + 12a + 9 = (2a + 3)^2\), поэтому первая дробь равна \(\dfrac{a}{2a + 3}\):

\[\dfrac{a - (3a + 2)}{2a + 3} = \dfrac{-2(a + 1)}{2a + 3}.\]
Умножаем: \(\dfrac{2a + 3}{2a - 3} \cdot \dfrac{-2(a + 1)}{2a + 3} = \dfrac{-2a - 2}{2a - 3}\). Прибавляем: \(\dfrac{-2a - 2 + 4a - 1}{2a - 3} = \dfrac{2a - 3}{2a - 3} = 1\). Вычитаем: \(1 - \dfrac{a - 1}{a} = \dfrac{a - a + 1}{a} = \dfrac{1}{a}\).

Ответ
1/a
Почему так

Порядок действий и формула квадрата суммы 4a² + 12a + 9 = (2a + 3)².

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Преобразовать выражение: \(\left(\dfrac{a + 3}{a^2 + 2a + 1} + \dfrac{a - 1}{a^2 - 2a - 3}\right) \cdot \dfrac{a^2 - 2a - 3}{a + 2} - 1\).

Решение

\(a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2\), \(a^2 - 2a - 3 = (a - 3)(a + 1)\). Скобка:

\[\dfrac{(a + 3)(a - 3) + (a - 1)(a + 1)}{(a + 1)^2(a - 3)} = \dfrac{2a^2 - 10}{(a + 1)^2(a - 3)}.\]
Умножаем:
\[\dfrac{2a^2 - 10}{(a + 1)^2(a - 3)} \cdot \dfrac{(a - 3)(a + 1)}{a + 2} = \dfrac{2a^2 - 10}{(a + 1)(a + 2)}.\]
Вычитаем 1:
\[\dfrac{2a^2 - 10 - (a^2 + 3a + 2)}{(a + 1)(a + 2)} = \dfrac{a^2 - 3a - 12}{a^2 + 3a + 2}.\]

Ответ
(a² − 3a − 12)/(a² + 3a + 2)
Почему так

Знаменатели раскладываем: квадрат суммы и трёхчлен с корнями 3 и −1.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Преобразовать выражение: \(\dfrac{3(m + 3)}{m^2 + 3m + 9} + \dfrac{m^3 - 3m^2}{(m + 3)^2} \cdot \left(\dfrac{3m}{m^3 - 27} + \dfrac{1}{m - 3}\right)\).

Решение

Скобка. \(m^3 - 27 = (m - 3)(m^2 + 3m + 9)\):

\[\dfrac{3m + m^2 + 3m + 9}{(m - 3)(m^2 + 3m + 9)} = \dfrac{(m + 3)^2}{(m - 3)(m^2 + 3m + 9)}.\]
Умножаем, \(m^3 - 3m^2 = m^2(m - 3)\):
\[\dfrac{m^2(m - 3)}{(m + 3)^2} \cdot \dfrac{(m + 3)^2}{(m - 3)(m^2 + 3m + 9)} = \dfrac{m^2}{m^2 + 3m + 9}.\]
Складываем:
\[\dfrac{3m + 9 + m^2}{m^2 + 3m + 9} = 1.\]

Ответ
1
Почему так

Разность кубов m³ − 27 и квадрат суммы m² + 6m + 9 = (m + 3)²; в конце числитель совпадает со знаменателем.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Преобразовать выражение: \(\left(\dfrac{9x^2 + 8}{27x^3 - 1} - \dfrac{1}{3x - 1} + \dfrac{4}{9x^2 + 3x + 1}\right) \cdot \dfrac{3x - 1}{3x + 1}\).

Решение

\(27x^3 - 1 = (3x - 1)(9x^2 + 3x + 1)\) — общий знаменатель. Числитель скобки:

\[9x^2 + 8 - (9x^2 + 3x + 1) + 4(3x - 1) = 9x + 3 = 3(3x + 1).\]
\[\dfrac{3(3x + 1)}{(3x - 1)(9x^2 + 3x + 1)} \cdot \dfrac{3x - 1}{3x + 1} = \dfrac{3}{9x^2 + 3x + 1}.\]

Ответ
3/(9x² + 3x + 1)
Почему так

Разность кубов 27x³ − 1 = (3x − 1)(9x² + 3x + 1) даёт общий знаменатель.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

Опечатка, неверный ответ, непонятное объяснение — напишите, что не так. Мы проверим и исправим.

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/uprazhneniya-dlya-povtoreniya-7-9/upr-711/