Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 713

Упражнения для повторения курса 7–9 классов

Задача 1

Условие (кратко)

а) Доказать, что значение выражения a² + 2a + 2 ни при каком a не может быть отрицательным.

Решение

Выделим полный квадрат:

\[a^2 + 2a + 2 = (a^2 + 2a + 1) + 1 = (a + 1)^2 + 1.\]
Квадрат любого числа неотрицателен: \((a + 1)^2 \ge 0\). Значит \((a + 1)^2 + 1 \ge 1 > 0\) при любом \(a\) — выражение даже всегда положительно.

Ответ
Доказано: a² + 2a + 2 = (a + 1)² + 1 ≥ 1.
Почему так

Выделение полного квадрата: квадрат неотрицателен, прибавка 1 делает сумму положительной.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Доказать, что выражение 2x² − 2xy + y² при любых x и y принимает неотрицательные значения.

Решение

Представим \(2x^2\) как \(x^2 + x^2\) и выделим полный квадрат:

\[2x^2 - 2xy + y^2 = x^2 + (x^2 - 2xy + y^2) = x^2 + (x - y)^2.\]
Оба слагаемых — квадраты, они неотрицательны, поэтому и их сумма \(\ge 0\) при любых \(x\) и \(y\) (равна нулю только при \(x = y = 0\)).

Ответ
Доказано: 2x² − 2xy + y² = x² + (x − y)² ≥ 0.
Почему так

Выражение раскладывается в сумму двух квадратов, а квадраты неотрицательны.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

Опечатка, неверный ответ, непонятное объяснение — напишите, что не так. Мы проверим и исправим.

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/uprazhneniya-dlya-povtoreniya-7-9/upr-713/