Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 719

Упражнения для повторения курса 7–9 классов

Задача 1

Условие (кратко)

а) Сократить дробь $\dfrac{5 + \sqrt{y}}{5\sqrt{y} + y}$ .

Решение

$y = (\sqrt{y})^2$ , поэтому в знаменателе выносим $\sqrt{y}$ и получаем $5\sqrt{y} + y = \sqrt{y}(5 + \sqrt{y})$ .

\dfrac{5 + \sqrt{y}}{\sqrt{y}(5 + \sqrt{y})} = \dfrac{1}{\sqrt{y}}.

Ответ

1/√y

Почему так

Число y записываем как (√y)² и выносим √y за скобки.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Сократить дробь $\dfrac{3x - 6}{\sqrt{x} + \sqrt{2}}$ .

Решение

$3x - 6 = 3(x - 2) = 3\big((\sqrt{x})^2 - (\sqrt{2})^2\big) = 3(\sqrt{x} - \sqrt{2})(\sqrt{x} + \sqrt{2})$ (при $x \ge 0$ ).

\dfrac{3(\sqrt{x} - \sqrt{2})(\sqrt{x} + \sqrt{2})}{\sqrt{x} + \sqrt{2}} = 3(\sqrt{x} - \sqrt{2}).

Ответ

3(√x − √2)

Почему так

Разность x − 2 раскладываем как разность квадратов √x и √2.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Сократить дробь $\dfrac{a\sqrt{a} - 1}{a + \sqrt{a} + 1}$ .

Решение

$a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^3$ — числитель есть разность кубов:

a\sqrt{a} - 1 = (\sqrt{a} - 1)(a + \sqrt{a} + 1).

\dfrac{(\sqrt{a} - 1)(a + \sqrt{a} + 1)}{a + \sqrt{a} + 1} = \sqrt{a} - 1.

Ответ

√a − 1

Почему так

Разность кубов (√a)³ − 1³; знаменатель — неполный квадрат суммы.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Сократить дробь $\dfrac{b - \sqrt{b} + 1}{b\sqrt{b} + 1}$ .

Решение

Знаменатель — сумма кубов: $b\sqrt{b} + 1 = (\sqrt{b})^3 + 1 = (\sqrt{b} + 1)(b - \sqrt{b} + 1)$ .

\dfrac{b - \sqrt{b} + 1}{(\sqrt{b} + 1)(b - \sqrt{b} + 1)} = \dfrac{1}{\sqrt{b} + 1}.

Ответ

1/(√b + 1)

Почему так

Сумма кубов (√b)³ + 1³ содержит множитель b − √b + 1.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Сократить дробь $\dfrac{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}}{\sqrt{xy} + y}$ .

Решение

Числитель — сумма кубов $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$ , поэтому $x\sqrt{x} + y\sqrt{y} = (\sqrt{x} + \sqrt{y})(x - \sqrt{xy} + y)$ . Знаменатель: $\sqrt{xy} + y = \sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y})$ .

\dfrac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(x - \sqrt{xy} + y)}{\sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y})} = \dfrac{x - \sqrt{xy} + y}{\sqrt{y}}.

Ответ

(x − √(xy) + y)/√y

Почему так

Сумма кубов в числителе и вынесение √y в знаменателе дают общий множитель √x + √y.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Сократить дробь $\dfrac{c - \sqrt{cd}}{c\sqrt{c} - d\sqrt{d}}$ .

Решение

Числитель: $c - \sqrt{cd} = \sqrt{c}(\sqrt{c} - \sqrt{d})$ . Знаменатель — разность кубов: $c\sqrt{c} - d\sqrt{d} = (\sqrt{c} - \sqrt{d})(c + \sqrt{cd} + d)$ .

\dfrac{\sqrt{c}(\sqrt{c} - \sqrt{d})}{(\sqrt{c} - \sqrt{d})(c + \sqrt{cd} + d)} = \dfrac{\sqrt{c}}{c + \sqrt{cd} + d}.

Ответ

√c/(c + √(cd) + d)

Почему так

Вынесение √c в числителе и разность кубов (√c)³ − (√d)³ в знаменателе.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/uprazhneniya-dlya-povtoreniya-7-9/upr-719/