Задача 1
Условие (кратко)
а) Доказать, что \(\dfrac{x - y}{x\sqrt{y} - y\sqrt{x}} = \dfrac{\sqrt{y}}{y} + \dfrac{\sqrt{x}}{x}\).
Решение
Преобразуем левую часть (\(x > 0\), \(y > 0\), \(x \ne y\)). Числитель — разность квадратов: \(x - y = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})\). В знаменателе выносим \(\sqrt{xy}\), получаем \(x\sqrt{y} - y\sqrt{x} = \sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x} - \sqrt{y})\).
\[\dfrac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x} - \sqrt{y})} = \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x}\sqrt{y}} = \dfrac{1}{\sqrt{y}} + \dfrac{1}{\sqrt{x}}.\]
Освобождаемся от корня в знаменателях: \(\dfrac{1}{\sqrt{y}} = \dfrac{\sqrt{y}}{y}\), \(\dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{\sqrt{x}}{x}\). Получили правую часть — равенство доказано.
Ответ
Доказано: левая часть равна (√x + √y)/√(xy) = √y/y + √x/x.
Почему так
Разность квадратов в числителе и вынесение √(xy) в знаменателе.
Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».