Алгебра 9 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, Упражнения для повторения курса 7–9 классов, задание 729

Задача 1

Условие (кратко)

а) Существует ли x, при котором x² − 10x + 31 равно −5?

Решение

Выделим полный квадрат: $$x^2 - 10x + 31 = (x - 5)^2 + 6$$ . Так как $(x - 5)^2 \ge 0$ , трёхчлен принимает только значения, не меньшие 6 (наименьшее — при $$x = 5$$ ).

Число $$-5 < 6$$ , поэтому такого $$x$$ нет. (Иначе: $$x^2 - 10x + 36 = 0$$ , $$D = 100 - 144 < 0$$ .)

Ответ

Нет

Почему так

Трёхчлен равен (x − 5)² + 6 и не бывает меньше 6.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Существует ли x, при котором x² − 10x + 31 равно 6?

Решение

Выделим полный квадрат: $$x^2 - 10x + 31 = (x - 5)^2 + 6$$ . Так как $(x - 5)^2 \ge 0$ , трёхчлен принимает только значения, не меньшие 6 (наименьшее — при $$x = 5$$ ).

$$(x - 5)^2 + 6 = 6$$ , $$(x - 5)^2 = 0$$ , $$x = 5$$ . Существует.

Ответ

Да, при x = 5

Почему так

Значение 6 — наименьшее значение трёхчлена, оно достигается при x = 5.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Существует ли x, при котором x² − 10x + 31 равно 55?

Решение

Выделим полный квадрат: $$x^2 - 10x + 31 = (x - 5)^2 + 6$$ . Так как $(x - 5)^2 \ge 0$ , трёхчлен принимает только значения, не меньшие 6 (наименьшее — при $$x = 5$$ ).

$$x^2 - 10x + 31 = 55$$ , $$x^2 - 10x - 24 = 0$$ , $$D = 100 + 96 = 196$$ , $x = \dfrac{10 \pm 14}{2}$ , откуда $$x = 12$$ или $$x = -2$$ . Существует.

Ответ

Да, при x = −2 и при x = 12

Почему так

Приравниваем трёхчлен к 55 и решаем квадратное уравнение.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».