а) При каких m уравнение 10x² − 10x + m = 0 имеет хотя бы один корень?
Квадратное уравнение имеет корни, когда \(D \ge 0\):
Квадратное уравнение имеет хотя бы один корень, если дискриминант неотрицателен.
Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».
б) При каких m уравнение mx² + 4x − 2 = 0 имеет хотя бы один корень?
При \(m = 0\) уравнение линейное: \(4x - 2 = 0\), \(x = 0{,}5\) — корень есть.
При \(m \ne 0\) уравнение квадратное: \(\dfrac{D}{4} = 4 + 2m \ge 0\), \(m \ge -2\).
Объединяем: \(m \ge -2\) (значение \(m = 0\) в этот промежуток уже входит).
Случай m = 0 рассматриваем отдельно: тогда уравнение не квадратное.
Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».
в) При каких m уравнение 3x² + mx − 5 = 0 имеет хотя бы один корень?
при любом \(m\), поэтому уравнение всегда имеет два корня.
Свободный член и старший коэффициент разных знаков, поэтому D > 0 всегда.
Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».
г) При каких m уравнение 2x² − mx + 2 = 0 имеет хотя бы один корень?
Корни есть при D ≥ 0, то есть при m² ≥ 16.
Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/uprazhneniya-dlya-povtoreniya-7-9/upr-730/