Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 737

Упражнения для повторения курса 7–9 классов

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решите уравнение x/(x − 3) − 5/(x + 3) = 18/(x² − 9).

Решение

$$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$$ ; допустимые значения: $x \ne \pm 3$ .

Умножаем на $$(x - 3)(x + 3)$$ :

x(x + 3) - 5(x - 3) = 18, \quad x^2 - 2x - 3 = 0.

Корни

\(x = 3\)

\(x = -1\)

. Значение

\(x = 3\)

обращает знаменатель в нуль — посторонний корень.

Ответ

x = −1

Почему так

Дробное уравнение умножаем на общий знаменатель и отбрасываем корни, обращающие его в нуль.

Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решите уравнение 70/(x² − 16) − 17/(x − 4) = 3x/(x + 4).

Решение

$$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$$ ; $x \ne \pm 4$ .

Умножаем на $$(x - 4)(x + 4)$$ :

70 - 17(x + 4) = 3x(x - 4), \quad 2 - 17x = 3x^2 - 12x,

3x^2 + 5x - 2 = 0, \quad D = 25 + 24 = 49, \quad x = \frac{-5 \pm 7}{6}.

x_1 = \dfrac{1}{3}

\(x_2 = -2\)

; оба допустимы.

Ответ

x₁ = −2, x₂ = 1/3

Почему так

Общий знаменатель (x − 4)(x + 4); оба корня его не обнуляют.

Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решите уравнение 3/(2 − x)² − 5/(x + 2)² = 14/(x² − 4).

Решение

$$(2 - x)^2 = (x - 2)^2$$ , $$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$ ; $x \ne \pm 2$ .

Умножаем на $$(x - 2)^2(x + 2)^2$$ :

\[3(x + 2)^2 - 5(x - 2)^2 = 14(x - 2)(x + 2),\]

\[3x^2 + 12x + 12 - 5x^2 + 20x - 20 = 14x^2 - 56,\]

16x^2 - 32x - 48 = 0, \quad x^2 - 2x - 3 = 0.

\(x_1 = 3\)

\(x_2 = -1\)

; оба допустимы.

Ответ

x₁ = −1, x₂ = 3

Почему так

Замечаем, что (2 − x)² = (x − 2)², и приводим к общему знаменателю.

Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решите уравнение 2/(4 − x²) − 1/(2x − 4) − 7/(2x² + 4x) = 0.

Решение

Раскладываем знаменатели: $$4 - x^2 = -(x - 2)(x + 2)$$ , $$2x - 4 = 2(x - 2)$$ , $$2x^2 + 4x = 2x(x + 2)$$ . Допустимые значения: $x \ne 0$ , $x \ne \pm 2$ .

-\frac{2}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{1}{2(x - 2)} - \frac{7}{2x(x + 2)} = 0.

Умножаем на

\(2x(x - 2)(x + 2)\)

-4x - x(x + 2) - 7(x - 2) = 0, \quad -x^2 - 13x + 14 = 0, \quad x^2 + 13x - 14 = 0.

\(x_1 = 1\)

\(x_2 = -14\)

; оба допустимы.

Ответ

x₁ = −14, x₂ = 1

Почему так

Раскладываем знаменатели на множители и находим общий знаменатель 2x(x − 2)(x + 2).

Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Решите уравнение 1/(x² − 9) + 1/(3x − x²) = 3/(2x + 6).

Решение

$$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$$ , $$3x - x^2 = -x(x - 3)$$ , $$2x + 6 = 2(x + 3)$$ ; $x \ne 0$ , $x \ne \pm 3$ .

\frac{1}{(x - 3)(x + 3)} - \frac{1}{x(x - 3)} = \frac{3}{2(x + 3)}.

Умножаем на

\(2x(x - 3)(x + 3)\)

2x - 2(x + 3) = 3x(x - 3), \quad -6 = 3x^2 - 9x, \quad x^2 - 3x + 2 = 0.

\(x_1 = 1\)

\(x_2 = 2\)

; оба допустимы.

Ответ

x₁ = 1, x₂ = 2

Почему так

Общий знаменатель 2x(x − 3)(x + 3); знак у 3x − x² выносим за дробь.

Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Решите уравнение 2/(1 − x²) − 1/(1 − x) + 4/(x + 1)² = 0.

Решение

$$1 - x^2 = (1 - x)(1 + x)$$ ; $x \ne \pm 1$ .

Умножаем на $$(1 - x)(1 + x)^2$$ :

\[2(1 + x) - (1 + x)^2 + 4(1 - x) = 0,\]

2 + 2x - 1 - 2x - x^2 + 4 - 4x = 0, \quad x^2 + 4x - 5 = 0.

Корни

\(1\)

\(-5\)

;

\(x = 1\)

обращает знаменатель в нуль — посторонний.

Ответ

x = −5

Почему так

Общий знаменатель (1 − x)(1 + x)²; корень x = 1 не входит в допустимые значения.

Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».

Задача 7

Условие (кратко)

ж) Решите уравнение 2/(x² + 5x) + 3/(2x − 10) = 15/(x² − 25).

Решение

$$x^2 + 5x = x(x + 5)$$ , $$2x - 10 = 2(x - 5)$$ , $$x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$$ ; $x \ne 0$ , $x \ne \pm 5$ .

Умножаем на $$2x(x - 5)(x + 5)$$ :

4(x - 5) + 3x(x + 5) = 30x, \quad 3x^2 - 11x - 20 = 0,

D = 121 + 240 = 361, \quad x = \frac{11 \pm 19}{6}.

\(x = 5\)

— посторонний корень;

x = -\dfrac{8}{6} = -1\dfrac{1}{3}

Ответ

x = −1 1/3

Почему так

Общий знаменатель 2x(x − 5)(x + 5); корень 5 отбрасываем.

Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».

Задача 8

Условие (кратко)

з) Решите уравнение 5/(2x + 6) − 1/(6x² − 18x) = 29/(27 − 3x²).

Решение

$$2x + 6 = 2(x + 3)$$ , $$6x^2 - 18x = 6x(x - 3)$$ , $$27 - 3x^2 = -3(x - 3)(x + 3)$$ ; $x \ne 0$ , $x \ne \pm 3$ .

\frac{5}{2(x + 3)} - \frac{1}{6x(x - 3)} = -\frac{29}{3(x - 3)(x + 3)}.

Умножаем на

\(6x(x - 3)(x + 3)\)

15x(x - 3) - (x + 3) = -58x, \quad 15x^2 + 12x - 3 = 0, \quad 5x^2 + 4x - 1 = 0.

\(D = 16 + 20 = 36\)

x = \dfrac{-4 \pm 6}{10}

, откуда

x_1 = \dfrac{1}{5}

\(x_2 = -1\)

; оба допустимы.

Ответ

x₁ = −1, x₂ = 1/5

Почему так

Раскладываем знаменатели, общий знаменатель 6x(x − 3)(x + 3).

Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».

Задача 9

Условие (кратко)

и) Решите уравнение x/(x − 5) − 4/(x + 5) + 76/(25 − x²) = 0.

Решение

$$25 - x^2 = -(x - 5)(x + 5)$$ ; $x \ne \pm 5$ .

Умножаем на $$(x - 5)(x + 5)$$ :

x(x + 5) - 4(x - 5) - 76 = 0, \quad x^2 + x - 56 = 0.

\(x_1 = 7\)

\(x_2 = -8\)

; оба допустимы.

Ответ

x₁ = −8, x₂ = 7

Почему так

Меняем знак у дроби со знаменателем 25 − x² и умножаем на (x − 5)(x + 5).

Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».

Задача 10

Условие (кратко)

к) Решите уравнение 7x/(x² − 36) + 3/(6 − x) = 7/(x + 6).

Решение

$\dfrac{3}{6 - x} = -\dfrac{3}{x - 6}$ ; $x \ne \pm 6$ .

Умножаем на $$(x - 6)(x + 6)$$ :

7x - 3(x + 6) = 7(x - 6), \quad 4x - 18 = 7x - 42, \quad 3x = 24, \quad x = 8.

Ответ

x = 8

Почему так

После умножения на общий знаменатель уравнение становится линейным.

Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/uprazhneniya-dlya-povtoreniya-7-9/upr-737/