Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 748

Упражнения для повторения курса 7–9 классов

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решите уравнение 4x⁴ − 17x² + 4 = 0.

Решение

Биквадратное уравнение: вводим $$t = x^2$$ , $t \ge 0$ .

$$4t^2 - 17t + 4 = 0$$ , $$D = 289 - 64 = 225$$ , $t = \dfrac{17 \pm 15}{8}$ , откуда $$t = 4$$ или $t = \dfrac{1}{4}$ .

$$x^2 = 4$$ — $x = \pm 2$ ; $x^2 = \dfrac{1}{4}$ — $x = \pm\dfrac{1}{2}$ .

Ответ

x = ±1/2, x = ±2

Почему так

Замена t = x² сводит биквадратное уравнение к квадратному.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решите уравнение 9x⁴ + 77x² − 36 = 0.

Решение

Биквадратное уравнение: вводим $$t = x^2$$ , $t \ge 0$ .

$$9t^2 + 77t - 36 = 0$$ , $$D = 5929 + 1296 = 7225 = 85^2$$ , $t = \dfrac{-77 \pm 85}{18}$ , откуда $t = \dfrac{4}{9}$ или $$t = -9$$ .

$$t = -9 < 0$$ не подходит. $x^2 = \dfrac{4}{9}$ , $x = \pm\dfrac{2}{3}$ .

Ответ

x = ±2/3

Почему так

Отрицательное значение t = x² отбрасываем — квадрат не бывает отрицательным.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решите уравнение 2x⁴ − 9x² − 5 = 0.

Решение

Биквадратное уравнение: вводим $$t = x^2$$ , $t \ge 0$ .

$$2t^2 - 9t - 5 = 0$$ , $$D = 81 + 40 = 121$$ , $t = \dfrac{9 \pm 11}{4}$ , откуда $$t = 5$$ или $t = -\dfrac{1}{2}$ (не подходит).

$$x^2 = 5$$ , $x = \pm\sqrt{5}$ .

Ответ

x = ±√5

Почему так

После замены t = x² берём только неотрицательный корень.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решите уравнение 6x⁴ − 5x² − 1 = 0.

Решение

Биквадратное уравнение: вводим $$t = x^2$$ , $t \ge 0$ .

$$6t^2 - 5t - 1 = 0$$ , $$D = 25 + 24 = 49$$ , $t = \dfrac{5 \pm 7}{12}$ , откуда $$t = 1$$ или $t = -\dfrac{1}{6}$ (не подходит).

$$x^2 = 1$$ , $x = \pm 1$ .

Ответ

x = ±1

Почему так

Замена t = x²; отрицательный корень для t не подходит.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/uprazhneniya-dlya-povtoreniya-7-9/upr-748/