Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 749

Упражнения для повторения курса 7–9 классов

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решите уравнение 2(5x − 1)² + 35x − 11 = 0, введя новую переменную.

Решение

Заметим, что \(35x - 11 = 7(5x - 1) - 4\). Уравнение:

\[2(5x - 1)^2 + 7(5x - 1) - 4 = 0.\]
Пусть \(t = 5x - 1\), откуда \(2t^2 + 7t - 4 = 0\), \(D = 49 + 32 = 81\), \(t = \dfrac{-7 \pm 9}{4}\), откуда \(t = \dfrac{1}{2}\) или \(t = -4\).

\(5x - 1 = \dfrac{1}{2}\) — \(x = 0{,}3\); \(5x - 1 = -4\) — \(x = -0{,}6\).

Ответ
x₁ = −0,6, x₂ = 0,3
Почему так

Выражаем 35x − 11 через 5x − 1 и делаем замену t = 5x − 1.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решите уравнение (x² + x − 3)² + 12x² + 12x − 9 = 0, введя новую переменную.

Решение

\(12x^2 + 12x - 9 = 12(x^2 + x - 3) + 27\). Пусть \(t = x^2 + x - 3\):

\[t^2 + 12t + 27 = 0, \quad t = -3 \text{ или } t = -9.\]
\(x^2 + x - 3 = -3\), откуда \(x^2 + x = 0\), \(x = 0\) или \(x = -1\).

\(x^2 + x - 3 = -9\), откуда \(x^2 + x + 6 = 0\), \(D = 1 - 24 < 0\) — корней нет.

Ответ
x₁ = −1, x₂ = 0
Почему так

Выражаем 12x² + 12x − 9 через x² + x − 3 и делаем замену.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

Опечатка, неверный ответ, непонятное объяснение — напишите, что не так. Мы проверим и исправим.

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/uprazhneniya-dlya-povtoreniya-7-9/upr-749/