а) Решите уравнение x⁴ − 16x² = 0.
\(x^2(x^2 - 16) = 0\), \(x^2(x - 4)(x + 4) = 0\). Корни: \(0\), \(4\), \(-4\).
Выносим x² за скобки и раскладываем разность квадратов.
Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».
б) Решите уравнение x = x³.
\(x^3 - x = 0\), \(x(x - 1)(x + 1) = 0\). Корни: \(0\), \(1\), \(-1\).
Делить обе части на \(x\) нельзя — потеряем корень \(0\).
Переносим всё в одну часть и раскладываем на множители.
Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».
в) Решите уравнение 1,2x³ + x = 0.
\(x(1{,}2x^2 + 1) = 0\). Множитель \(1{,}2x^2 + 1 > 0\) при любом \(x\), поэтому единственный корень \(x = 0\).
Скобка 1,2x² + 1 всегда положительна, нулём может быть только x.
Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».
г) Решите уравнение 0,4x⁴ = x³.
\(0{,}4x^4 - x^3 = 0\), \(x^3(0{,}4x - 1) = 0\), откуда \(x = 0\) или \(x = 2{,}5\).
Выносим x³ за скобки, а не делим на него.
Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».
д) Решите уравнение x³ + 6x² − 16x = 0.
\(x(x^2 + 6x - 16) = 0\). \(x = 0\) или \(x^2 + 6x - 16 = 0\), откуда \(x = 2\), \(x = -8\) (по теореме Виета: сумма \(-6\), произведение \(-16\)).
Выносим x и решаем оставшееся квадратное уравнение.
Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».
е) Решите уравнение x⁴ + x³ − 6x² = 0.
\(x^2(x^2 + x - 6) = 0\). \(x = 0\) или \(x^2 + x - 6 = 0\), откуда \(x = 2\), \(x = -3\).
Выносим x² и решаем квадратное уравнение.
Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».
ж) Решите уравнение x³ + x² = 9x + 9.
Группируем: \(x^2(x + 1) - 9(x + 1) = 0\), \((x + 1)(x^2 - 9) = 0\), \((x + 1)(x - 3)(x + 3) = 0\).
Корни: \(-1\), \(3\), \(-3\).
Способ группировки выделяет общий множитель x + 1.
Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».
з) Решите уравнение 2x³ + 8x = x² + 4.
\(2x(x^2 + 4) - (x^2 + 4) = 0\), \((x^2 + 4)(2x - 1) = 0\).
\(x^2 + 4 > 0\) всегда, поэтому \(2x - 1 = 0\), \(x = \dfrac{1}{2}\).
Группировкой выносим общий множитель x² + 4, который не обращается в нуль.
Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/uprazhneniya-dlya-povtoreniya-7-9/upr-750/