а) Приведите уравнение 1/8 · x³ = 1 к виду xⁿ = a и решите его.
\(x^3 = 8\). Уравнение нечётной степени имеет один корень: \(x = \sqrt[3]{8} = 2\).
Уравнение x³ = a при любом a имеет единственный корень ∛a.
Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».
б) Приведите уравнение 1000x³ + 1 = 0 к виду xⁿ = a и решите его.
\(x^3 = -\dfrac{1}{1000} = -0{,}001\), \(x = \sqrt[3]{-0{,}001} = -0{,}1\).
Кубический корень из отрицательного числа существует и отрицателен.
Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».
в) Приведите уравнение 1/27 · x³ = 0,001 к виду xⁿ = a и решите его.
\(x^3 = 27 \cdot 0{,}001 = 0{,}027\), \(x = \sqrt[3]{0{,}027} = 0{,}3\).
x³ = a имеет единственный корень ∛a.
Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».
г) Приведите уравнение 1/9 · x⁴ − 16 = 0 к виду xⁿ = a и решите его.
\(x^4 = 144\). Уравнение чётной степени с \(a > 0\) имеет два корня: \(x = \pm\sqrt[4]{144} = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}\).
Уравнение x⁴ = a при a > 0 имеет два противоположных корня.
Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».
д) Приведите уравнение 1 + x⁵ = 0 к виду xⁿ = a и решите его.
\(x^5 = -1\), \(x = \sqrt[5]{-1} = -1\).
Уравнение нечётной степени xⁿ = a имеет ровно один корень.
Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».
е) Приведите уравнение x⁸ − 16 = 0 к виду xⁿ = a и решите его.
\(x^8 = 16\), \(x = \pm\sqrt[8]{16} = \pm\sqrt[8]{2^4} = \pm\sqrt{2}\).
При чётном n и a > 0 уравнение xⁿ = a имеет два корня ±ⁿ√a.
Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/uprazhneniya-dlya-povtoreniya-7-9/upr-751/