Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 752

Упражнения для повторения курса 7–9 классов

Задача 1

Условие (кратко)

а) Изобразив схематически графики, выясните, имеет ли корни уравнение 1/2 · x − 2 = x³.

Решение

Строим кубическую параболу $$y = x^3$$ и прямую $y = \dfrac{1}{2}x - 2$ (через точки $$(0; -2)$$ и $$(4; 0)$$ ).

При $0 \le x < 4$ прямая ниже оси $$x$$ , а $x^3 \ge 0$ ; при $x \ge 4$ кубическая парабола намного выше ( $$64 > 0$$ ). Значит, справа от нуля пересечений нет.

При $$x < 0$$ : в точке $$x = -1$$ кубическая парабола выше прямой ( $$-1 > -2{,}5$$ ), в точке $$x = -2$$ — ниже ( $$-8 < -3$$ ). Прямая пологая, а кубическая парабола левее круто уходит вниз, поэтому графики пересекаются один раз — между $$-2$$ и $$-1$$ .

Уравнение имеет один корень (отрицательный, $x \approx -1{,}4$ ).

Ответ

Да, один корень (между −2 и −1)

Почему так

Число корней уравнения f(x) = g(x) равно числу общих точек графиков y = f(x) и y = g(x).

Подробнее — в теме «Графики и свойства основных видов функций».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Изобразив схематически графики, выясните, имеет ли корни уравнение −3x − 1 = √x.

Решение

График $y = \sqrt{x}$ существует только при $x \ge 0$ и лежит не ниже оси $$x$$ .

Прямая $$y = -3x - 1$$ при $x \ge 0$ лежит ниже прямой $$y = -1$$ , то есть ниже оси $$x$$ .

Графики не пересекаются: уравнение корней не имеет.

Ответ

Нет, корней нет

Почему так

При x ≥ 0 левая часть отрицательна, а √x неотрицателен.

Подробнее — в теме «Графики и свойства основных видов функций».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Изобразив схематически графики, выясните, имеет ли корни уравнение 1/x = −x² + 1.

Решение

Строим гиперболу $y = \dfrac{1}{x}$ и параболу $$y = 1 - x^2$$ (вершина $$(0; 1)$$ , ветви вниз, нули $\pm 1$ ).

При $$x > 0$$ : если $0 < x \le 1$ , то $\dfrac{1}{x} \ge 1 > 1 - x^2$ ; если $$x > 1$$ , то $1 - x^2 < 0 < \dfrac{1}{x}$ . Пересечений нет.

При $$x < 0$$ ветвь гиперболы лежит в III четверти. В точке $$x = -1$$ парабола ( $$0$$ ) выше гиперболы ( $$-1$$ ), в точке $$x = -2$$ парабола ( $$-3$$ ) ниже гиперболы ( $$-0{,}5$$ ). Графики пересекаются один раз — между $$-2$$ и $$-1$$ .

Уравнение имеет один корень ( $x \approx -1{,}3$ ).

Ответ

Да, один корень (между −2 и −1)

Почему так

Корни уравнения — абсциссы общих точек гиперболы и параболы.

Подробнее — в теме «Графики и свойства основных видов функций».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Изобразив схематически графики, выясните, имеет ли корни уравнение 3 + x² = 12/x.

Решение

Строим параболу $$y = x^2 + 3$$ (вершина $$(0; 3)$$ ) и гиперболу $y = \dfrac{12}{x}$ .

Парабола целиком выше оси $$x$$ , а ветвь гиперболы при $$x < 0$$ — ниже, там пересечений нет.

При $$x > 0$$ парабола возрастает, а гипербола убывает, поэтому общая точка не больше одной. При $$x = 1$$ имеем $$4 < 12$$ , а при $$x = 2$$ имеем $$7 > 6$$ — графики пересекаются между 1 и 2.

Уравнение имеет один корень ( $x \approx 1{,}9$ ).

Ответ

Да, один корень (между 1 и 2)

Почему так

Возрастающая и убывающая функции пересекаются не более одного раза.

Подробнее — в теме «Графики и свойства основных видов функций».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/uprazhneniya-dlya-povtoreniya-7-9/upr-752/