Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 753

Упражнения для повторения курса 7–9 классов

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решите графически уравнение $$x^3 = 7x - 6$$ .

Решение

Построим в одной системе координат графики $$y = x^3$$ и $$y = 7x - 6$$ .

$$x$$	−3	−2	−1	0	1	2	3
$$y = x^3$$	−27	−8	−1	0	1	8	27
$$y = 7x - 6$$	−27	−20	−13	−6	1	8	15

Прямая пересекает кубическую параболу в трёх точках: $(-3;\ -27)$ , $(1;\ 1)$ и $(2;\ 8)$ — в этих точках значения в таблице совпадают, значит, корни точные. Больше пересечений нет: при $$x > 2$$ кубическая парабола растёт быстрее прямой, а при $$x < -3$$ уходит вниз быстрее.

Ответ

x₁ = −3, x₂ = 1, x₃ = 2

Почему так

Корни уравнения — абсциссы точек пересечения графиков его левой и правой частей.

Подробнее — в теме «Графики и свойства основных видов функций».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решите графически уравнение $\dfrac{6}{x} = 0{,}5x - 2$ .

Решение

Построим графики $y = \dfrac{6}{x}$ (гипербола, ветви в I и III четвертях) и $$y = 0{,}5x - 2$$ (прямая через точки $(0;\ -2)$ и $(4;\ 0)$ ).

$$x$$	−6	−3	−2	−1	1	2	3	6
$y = \dfrac{6}{x}$	−1	−2	−3	−6	6	3	2	1

Прямая пересекает гиперболу в точках $(-2;\ -3)$ и $(6;\ 1)$ .

Проверка: $\dfrac{6}{-2} = -3$ и $0{,}5 \cdot (-2) - 2 = -3$ ; $\dfrac{6}{6} = 1$ и $0{,}5 \cdot 6 - 2 = 1$ . Корни точные.

Ответ

x₁ = −2, x₂ = 6

Почему так

Корни уравнения — абсциссы точек пересечения графиков его левой и правой частей.

Подробнее — в теме «Графики и свойства основных видов функций».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решите графически уравнение $\dfrac{4}{x} = x^2 - 2x$ .

Решение

Построим гиперболу $y = \dfrac{4}{x}$ и параболу $$y = x^2 - 2x$$ (вершина $(1;\ -1)$ , нули $$0$$ и $$2$$ , ветви вверх).

$$x$$	−2	−1	1	2	2,5	3	4
$y = \dfrac{4}{x}$	−2	−4	4	2	1,6	1,33	1
$$y = x^2 - 2x$$	8	3	−1	0	1,25	3	8

При $$x < 0$$ гипербола ниже оси $$x$$ , а парабола выше — пересечений нет.
При $0 < x \le 2$ парабола не выше оси $$x$$ , а гипербола выше — пересечений нет.
При $$x > 2$$ парабола возрастает, а гипербола убывает, поэтому пересечение одно. При $$x = 2{,}5$$ парабола ещё ниже гиперболы ( $$1{,}25 < 1{,}6$$ ), при $$x = 3$$ уже выше ( $$3 > 1{,}33$$ ).

Точка пересечения — между 2,5 и 3, по графику $x \approx 2{,}6$ (при $$x = 2{,}6$$ — $\dfrac{4}{2{,}6} \approx 1{,}54$ и $2{,}6^2 - 2 \cdot 2{,}6 = 1{,}56$ ).

Ответ

x ≈ 2,6

Почему так

Корень — абсцисса единственной точки пересечения гиперболы и параболы; графически он находится приближённо.

Подробнее — в теме «Графики и свойства основных видов функций».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решите графически уравнение $\sqrt{x} = x^3$ .

Решение

Построим графики $y = \sqrt{x}$ (только при $x \ge 0$ ) и $$y = x^3$$ .

$$x$$	0	0,25	0,5	1	1,5	4
$y = \sqrt{x}$	0	0,5	≈0,71	1	≈1,22	2
$$y = x^3$$	0	≈0,02	0,125	1	≈3,4	64

Графики пересекаются в точках $(0;\ 0)$ и $(1;\ 1)$ : на промежутке $(0;\ 1)$ график $y = \sqrt{x}$ выше, при $$x > 1$$ кубическая парабола быстро уходит вверх. При $$x < 0$$ левая часть не определена.

Проверка: $\sqrt{0} = 0^3$ , $\sqrt{1} = 1^3$ .

Ответ

x₁ = 0, x₂ = 1

Почему так

Корни уравнения — абсциссы точек пересечения графиков его левой и правой частей.

Подробнее — в теме «Графики и свойства основных видов функций».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/uprazhneniya-dlya-povtoreniya-7-9/upr-753/

$\(x\)$	−3	−2	−1	0	1	2	3
$\(y = x^3\)$	−27	−8	−1	0	1	8	27
$\(y = 7x - 6\)$	−27	−20	−13	−6	1	8	15