Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 755

Упражнения для повторения курса 7–9 классов

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решите систему $\begin{cases} \dfrac{2x - y}{3} - \dfrac{x - 2y}{2} = \dfrac{3}{2}, \\ \dfrac{2x + y}{2} - \dfrac{x + 2y}{3} = \dfrac{1}{3}. \end{cases}$

Решение

Умножим каждое уравнение на 6, чтобы избавиться от знаменателей.

Первое: $$2(2x - y) - 3(x - 2y) = 9$$ , то есть $$4x - 2y - 3x + 6y = 9$$ , $$x + 4y = 9$$ .

Второе: $$3(2x + y) - 2(x + 2y) = 2$$ , то есть $$6x + 3y - 2x - 4y = 2$$ , $$4x - y = 2$$ .

Из второго $$y = 4x - 2$$ . Подставим в первое: $$x + 16x - 8 = 9$$ , $$17x = 17$$ , $$x = 1$$ , $$y = 2$$ .

Проверка: $\dfrac{0}{3} - \dfrac{-3}{2} = \dfrac{3}{2}$ ; $\dfrac{4}{2} - \dfrac{5}{3} = \dfrac{1}{3}$ .

Ответ

(1; 2)

Почему так

Систему с дробями сначала приводят к целым коэффициентам, умножая каждое уравнение на общий знаменатель.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решите систему $\begin{cases} \dfrac{x - y + 1}{2} + \dfrac{x + y - 1}{5} = 7, \\ \dfrac{x - y + 1}{3} - \dfrac{x + y - 1}{4} = -3. \end{cases}$

Решение

Выражения $$x - y + 1$$ и $$x + y - 1$$ повторяются — обозначим $$u = x - y + 1$$ , $$v = x + y - 1$$ .

$\begin{cases} \dfrac{u}{2} + \dfrac{v}{5} = 7, \\ \dfrac{u}{3} - \dfrac{v}{4} = -3 \end{cases}$ $\Rightarrow$ $\begin{cases} 5u + 2v = 70, \\ 4u - 3v = -36. \end{cases}$

Умножим первое на 3, второе на 2 и сложим: $$15u + 8u = 210 - 72$$ , $$23u = 138$$ , $$u = 6$$ . Тогда $$2v = 70 - 30 = 40$$ , $$v = 20$$ .

Возвращаемся к $$x$$ и $$y$$ — $$x - y = 5$$ , $$x + y = 21$$ . Складывая, $$2x = 26$$ , $$x = 13$$ , $$y = 8$$ .

Проверка: $\dfrac{6}{2} + \dfrac{20}{5} = 7$ ; $\dfrac{6}{3} - \dfrac{20}{4} = -3$ .

Ответ

(13; 8)

Почему так

Повторяющиеся выражения удобно заменить новыми переменными — получится простая линейная система.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/uprazhneniya-dlya-povtoreniya-7-9/upr-755/