Алгебра 9 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, Упражнения для повторения курса 7–9 классов, задание 757

Задача 1

Условие (кратко)

Найдите расстояние от точки пересечения прямых $$5x - 2y = -25$$ и $$-4x + 3y = 27$$ : а) до оси абсцисс.

Решение

Найдём точку пересечения прямых — решим систему $\begin{cases} 5x - 2y = -25, \\ -4x + 3y = 27. \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 3, второе на 2 и сложим: $$15x - 8x = -75 + 54$$ , $$7x = -21$$ , $$x = -3$$ . Тогда $$2y = 5x + 25 = 10$$ , $$y = 5$$ .

Точка пересечения — $A(-3;\ 5)$ .

Расстояние от точки до оси абсцисс равно модулю её ординаты: $$|5| = 5$$ .

Ответ

5

Почему так

Расстояние от точки (x; y) до оси абсцисс равно |y|.

Условие (кратко)

б) Найдите расстояние от точки пересечения прямых $$5x - 2y = -25$$ и $$-4x + 3y = 27$$ до оси ординат.

Решение

Найдём точку пересечения прямых — решим систему $\begin{cases} 5x - 2y = -25, \\ -4x + 3y = 27. \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 3, второе на 2 и сложим: $$15x - 8x = -75 + 54$$ , $$7x = -21$$ , $$x = -3$$ . Тогда $$2y = 5x + 25 = 10$$ , $$y = 5$$ .

Точка пересечения — $A(-3;\ 5)$ .

Расстояние от точки до оси ординат равно модулю её абсциссы: $$|-3| = 3$$ .

Ответ

3

Почему так

Расстояние от точки (x; y) до оси ординат равно |x|.

Условие (кратко)

в) Найдите расстояние от точки пересечения прямых $$5x - 2y = -25$$ и $$-4x + 3y = 27$$ до начала координат.

Решение

Найдём точку пересечения прямых — решим систему $\begin{cases} 5x - 2y = -25, \\ -4x + 3y = 27. \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 3, второе на 2 и сложим: $$15x - 8x = -75 + 54$$ , $$7x = -21$$ , $$x = -3$$ . Тогда $$2y = 5x + 25 = 10$$ , $$y = 5$$ .

Точка пересечения — $A(-3;\ 5)$ .

Расстояние от точки $(x;\ y)$ до начала координат — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $$|x|$$ и $$|y|$$ :

$OA = \sqrt{(-3)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$ .

Ответ

√34

Почему так

Расстояние от точки до начала координат находят по теореме Пифагора: √(x² + y²).