Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 758

Упражнения для повторения курса 7–9 классов

Задача 1

Условие (кратко)

Подберите $$k$$ и $$b$$ так, чтобы система $$y = kx + b$$ , $$y = 2{,}5x - 3$$ : а) не имела решений.

Решение

Решения системы — общие точки двух прямых. Система не имеет решений, если прямые параллельны и не совпадают: угловые коэффициенты равны, а свободные члены разные.

Значит, $$k = 2{,}5$$ , $b \ne -3$ . Например, $$k = 2{,}5$$ , $$b = 0$$ : система $$y = 2{,}5x$$ , $$y = 2{,}5x - 3$$ даёт $$0 = -3$$ — решений нет.

Ответ

k = 2,5, b — любое число, кроме −3 (например, b = 0)

Почему так

Параллельные несовпадающие прямые общих точек не имеют: k одинаковые, b разные.

Подробнее — в теме «Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Подберите $$k$$ и $$b$$ так, чтобы система $$y = kx + b$$ , $$y = 2{,}5x - 3$$ имела бесконечно много решений.

Решение

Бесконечно много решений — когда прямые совпадают: равны и угловые коэффициенты, и свободные члены.

$$k = 2{,}5$$ , $$b = -3$$ . Тогда оба уравнения одинаковы, и любая точка прямой $$y = 2{,}5x - 3$$ — решение.

Ответ

k = 2,5, b = −3

Почему так

Совпадающие прямые имеют бесконечно много общих точек.

Подробнее — в теме «Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Подберите $$k$$ и $$b$$ так, чтобы система $$y = kx + b$$ , $$y = 2{,}5x - 3$$ имела единственное решение с $$x = 4$$ .

Решение

Прямые должны пересекаться (значит, $k \ne 2{,}5$ ) в точке с абсциссой 4. На второй прямой при $$x = 4$$ — $y = 2{,}5 \cdot 4 - 3 = 7$ . Точка пересечения — $(4;\ 7)$ .

Первая прямая проходит через $(4;\ 7)$ — $$4k + b = 7$$ , то есть $$b = 7 - 4k$$ , где $k \ne 2{,}5$ .

Например, $$k = 1$$ , $$b = 3$$ : прямая $$y = x + 3$$ . Проверка: $$x + 3 = 2{,}5x - 3$$ , $$1{,}5x = 6$$ , $$x = 4$$ .

Ответ

Любые k ≠ 2,5 и b = 7 − 4k, например k = 1, b = 3

Почему так

Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку; она должна лежать на обеих прямых.

Подробнее — в теме «Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/uprazhneniya-dlya-povtoreniya-7-9/upr-758/