Задача 1
При каких \(b\) и \(c\) парабола \(y = x^2 + bx + c\) пересекает оси в точках \((0;\ -3)\) и \(\left(\dfrac{1}{2};\ 0\right)\)? В какой ещё точке она пересекает ось \(x\)?
Решение
Точка \((0;\ -3)\) — \(y(0) = c = -3\).
Точка \(\left(\dfrac{1}{2};\ 0\right)\) — \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{b}{2} - 3 = 0\), \(\dfrac{b}{2} = \dfrac{11}{4}\), \(b = 5{,}5\).
Парабола \(y = x^2 + 5{,}5x - 3\). Её нули — корни уравнения \(x^2 + 5{,}5x - 3 = 0\). По теореме Виета произведение корней равно \(-3\), один корень \(\dfrac{1}{2}\), значит, другой \(-3 : \dfrac{1}{2} = -6\).
Проверка: \(36 - 33 - 3 = 0\). Вторая точка пересечения с осью \(x\) — \((-6;\ 0)\).
Ответ
Точка пересечения с осью y даёт c, известный нуль даёт b, второй нуль удобно найти по теореме Виета.
Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».