Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 769

Упражнения для повторения курса 7–9 классов

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решите графически систему $\begin{cases} y + x^2 = 5x, \\ 2y + 5 = x. \end{cases}$

Решение

Выразим $$y$$ из каждого уравнения.

Первое: $$y = 5x - x^2$$ — парабола, ветви вниз, нули $$0$$ и $$5$$ , вершина $(2{,}5;\ 6{,}25)$ .

$$x$$	−1	0	1	2	2,5	3	4	5
$$y$$	−6	0	4	6	6,25	6	4	0

Второе: $y = \dfrac{x - 5}{2}$ — прямая через точки $(5;\ 0)$ и $(-1;\ -3)$ .

Прямая пересекает параболу в двух точках: $(5;\ 0)$ и примерно $(-0{,}5;\ -2{,}75)$ .

Проверка подстановкой: при $$x = -0{,}5$$ из первого уравнения $$y = -2{,}5 - 0{,}25 = -2{,}75$$ , из второго $y = \dfrac{-5{,}5}{2} = -2{,}75$ — точка точная. Для $(5;\ 0)$ — $$0 + 25 = 25$$ , $$0 + 5 = 5$$ .

Ответ

(5; 0), (−0,5; −2,75)

Почему так

Решения системы — координаты общих точек графиков её уравнений; по графику они находятся приближённо.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решите графически систему $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ 2x^2 + y = 6. \end{cases}$

Решение

Первое уравнение — окружность с центром $(0;\ 0)$ и радиусом 5.

Второе: $$y = 6 - 2x^2$$ — парабола, ветви вниз, вершина $(0;\ 6)$ , нули $\pm\sqrt{3} \approx \pm 1{,}7$ .

$$x$$	−3	−2	−1	0	1	2	3
$$y$$	−12	−2	4	6	4	−2	−12

Вершина параболы лежит вне окружности (выше точки $(0;\ 5)$ ), ветви уходят вниз и выходят из круга. Парабола пересекает окружность в четырёх точках, симметричных относительно оси $$y$$ :

$(\pm 0{,}7;\ 4{,}9)$ и $(\pm 2{,}3;\ -4{,}4)$ (приближённо).

Уточнение подстановкой: $x^2 = \dfrac{6 - y}{2}$ , тогда $\dfrac{6 - y}{2} + y^2 = 25$ , $$2y^2 - y - 44 = 0$$ , $y = \dfrac{1 \pm \sqrt{353}}{4}$ , то есть $y \approx 4{,}95$ и $y \approx -4{,}45$ ; соответственно $x \approx \pm 0{,}73$ и $x \approx \pm 2{,}29$ .

Ответ

≈ (−0,7; 4,9), (0,7; 4,9), (−2,3; −4,4), (2,3; −4,4)

Почему так

Решения системы — координаты общих точек графиков её уравнений; по графику они находятся приближённо.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решите графически систему $\begin{cases} xy = 1, \\ x^2 + y^2 = 9. \end{cases}$

Решение

Первое уравнение: $y = \dfrac{1}{x}$ — гипербола, ветви в I и III четвертях.

$$x$$	0,25	0,5	1	2	3	4
$$y$$	4	2	1	0,5	≈0,33	0,25

(в III четверти — те же точки с противоположными знаками).

Второе уравнение — окружность с центром $(0;\ 0)$ и радиусом 3.

Каждая ветвь гиперболы пересекает окружность дважды; точки симметричны относительно прямой $$y = x$$ и относительно начала координат: примерно $(3{,}0;\ 0{,}3)$ , $(0{,}3;\ 3{,}0)$ , $(-0{,}3;\ -3{,}0)$ , $(-3{,}0;\ -0{,}3)$ .

Уточнение: $$(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 11$$ , $$(x - y)^2 = 9 - 2 = 7$$ ; отсюда $x = \dfrac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{2} \approx 2{,}98$ , $y = \dfrac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{2} \approx 0{,}34$ — и симметричные точки.

Ответ

≈ (3,0; 0,3), (0,3; 3,0), (−0,3; −3,0), (−3,0; −0,3)

Почему так

Решения системы — координаты общих точек графиков её уравнений; по графику они находятся приближённо.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решите графически систему $\begin{cases} xy = -2, \\ y + 8 = \dfrac{1}{2}x^2. \end{cases}$

Решение

Первое уравнение: $y = -\dfrac{2}{x}$ — гипербола, ветви во II и IV четвертях.

$$x$$	−4	−2	−1	−0,25	0,25	1	2	4
$$y$$	0,5	1	2	8	−8	−2	−1	−0,5

Второе: $y = \dfrac{1}{2}x^2 - 8$ — парабола, ветви вверх, вершина $(0;\ -8)$ , нули $\pm 4$ .

$$x$$	−4	−2	0	2	4
$$y$$	0	−6	−8	−6	0

Общие точки:

во II четверти левая ветвь параболы пересекает гиперболу чуть левее $$x = -4$$ : примерно $(-4{,}1;\ 0{,}5)$ ;
в IV четверти около вершины параболы: при $$x = 0{,}25$$ гипербола даёт $$-8$$ , парабола $\approx -7{,}97$ — точка примерно $(0{,}25;\ -8)$ ;
в IV четверти справа, чуть левее $$x = 4$$ : примерно $(3{,}9;\ -0{,}5)$ .

Проверка для последней: при $$x = 3{,}9$$ гипербола даёт $\approx -0{,}51$ , парабола $\approx -0{,}40$ — значения близки, точность графического решения.

Ответ

≈ (−4,1; 0,5), (0,25; −8), (3,9; −0,5)

Почему так

Решения системы — координаты общих точек графиков её уравнений; по графику они находятся приближённо.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/uprazhneniya-dlya-povtoreniya-7-9/upr-769/