Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 770

Упражнения для повторения курса 7–9 классов

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решите систему подстановкой: $\begin{cases} x^2 + y + 8 = xy, \\ y - 2x = 0. \end{cases}$

Решение

Из второго уравнения $$y = 2x$$ . Подставим в первое:

$$x^2 + 2x + 8 = 2x^2$$ , $$x^2 - 2x - 8 = 0$$ , $$x_1 = 4$$ , $$x_2 = -2$$ .

Тогда $$y_1 = 8$$ , $$y_2 = -4$$ .

Проверка: $16 + 8 + 8 = 32 = 4 \cdot 8$ ; $4 - 4 + 8 = 8 = (-2) \cdot (-4)$ .

Ответ

(−2; −4), (4; 8)

Почему так

Способ подстановки: из линейного уравнения выражаем одну переменную и подставляем в другое уравнение.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решите систему подстановкой: $\begin{cases} x^2 - y^2 = 16, \\ x + y = 8. \end{cases}$

Решение

Из второго уравнения $$y = 8 - x$$ . Подставим в первое:

$$x^2 - (8 - x)^2 = 16$$ , $$x^2 - 64 + 16x - x^2 = 16$$ , $$16x = 80$$ , $$x = 5$$ .

Тогда $$y = 3$$ . Проверка: $$25 - 9 = 16$$ .

Ответ

(5; 3)

Почему так

Способ подстановки: из линейного уравнения выражаем одну переменную и подставляем в другое уравнение.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решите систему подстановкой: $\begin{cases} x + y = 5, \\ x^2 - xy + y^2 = 13. \end{cases}$

Решение

Из первого уравнения $$y = 5 - x$$ . Подставим во второе:

$$x^2 - x(5 - x) + (5 - x)^2 = 13$$ ,

$$x^2 - 5x + x^2 + 25 - 10x + x^2 = 13$$ ,

$$3x^2 - 15x + 12 = 0$$ , $$x^2 - 5x + 4 = 0$$ , $$x_1 = 1$$ , $$x_2 = 4$$ .

Тогда $$y_1 = 4$$ , $$y_2 = 1$$ . Проверка: $$1 - 4 + 16 = 13$$ .

Ответ

(1; 4), (4; 1)

Почему так

Способ подстановки: из линейного уравнения выражаем одну переменную и подставляем в другое уравнение.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решите систему подстановкой: $\begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = 1, \\ 3y + x = 0. \end{cases}$

Решение

Из второго уравнения $$x = -3y$$ . Подставим в первое:

$$9y^2 + y^2 - 9y^2 = 1$$ , $$y^2 = 1$$ , $$y = 1$$ или $$y = -1$$ .

Тогда $$x = -3$$ или $$x = 3$$ .

Проверка для $(3;\ -1)$ — $$9 + 1 - 9 = 1$$ .

Ответ

(3; −1), (−3; 1)

Почему так

Способ подстановки: из линейного уравнения выражаем одну переменную и подставляем в другое уравнение.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Решите систему подстановкой: $\begin{cases} 2x^2 + 5x - 3y = -12, \\ 2y - 7x = 8. \end{cases}$

Решение

Из второго уравнения $y = \dfrac{7x + 8}{2}$ . Подставим в первое и умножим на 2:

$$4x^2 + 10x - 3(7x + 8) = -24$$ ,

$$4x^2 + 10x - 21x - 24 = -24$$ , $$4x^2 - 11x = 0$$ , $$x(4x - 11) = 0$$ .

$$x_1 = 0$$ , $x_2 = \dfrac{11}{4} = 2\dfrac{3}{4}$ .

$y_1 = \dfrac{8}{2} = 4$ ; $y_2 = \dfrac{\frac{77}{4} + 8}{2} = \dfrac{109}{8} = 13\dfrac{5}{8}$ .

Проверка для $(0;\ 4)$ — $$0 + 0 - 12 = -12$$ , $$8 - 0 = 8$$ .

Ответ

(0; 4), (2 3/4; 13 5/8)

Почему так

Способ подстановки: из линейного уравнения выражаем одну переменную и подставляем в другое уравнение.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Решите систему подстановкой: $\begin{cases} y^2 - 6x + y = 0, \\ 2x - \dfrac{1}{2}y = 1. \end{cases}$

Решение

Из второго уравнения $\dfrac{1}{2}y = 2x - 1$ , $$y = 4x - 2$$ . Подставим в первое:

$$(4x - 2)^2 - 6x + 4x - 2 = 0$$ ,

$$16x^2 - 16x + 4 - 2x - 2 = 0$$ , $$16x^2 - 18x + 2 = 0$$ , $$8x^2 - 9x + 1 = 0$$ .

$$D = 81 - 32 = 49$$ , $x = \dfrac{9 \pm 7}{16}$ — $$x_1 = 1$$ , $x_2 = \dfrac{1}{8}$ .

$$y_1 = 2$$ , $y_2 = \dfrac{1}{2} - 2 = -1\dfrac{1}{2}$ .

Проверка для $(1;\ 2)$ — $$4 - 6 + 2 = 0$$ , $$2 - 1 = 1$$ .

Ответ

(1; 2), (1/8; −1 1/2)

Почему так

Способ подстановки: из линейного уравнения выражаем одну переменную и подставляем в другое уравнение.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/uprazhneniya-dlya-povtoreniya-7-9/upr-770/