Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 771

Упражнения для повторения курса 7–9 классов

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решите систему $\begin{cases} x + xy + y = 11, \\ x - xy + y = 1. \end{cases}$

Решение

Сложим уравнения: $$2(x + y) = 12$$ , $$x + y = 6$$ . Вычтем второе из первого: $$2xy = 10$$ , $$xy = 5$$ .

Числа с суммой 6 и произведением 5 — корни уравнения $$t^2 - 6t + 5 = 0$$ — $$t = 1$$ и $$t = 5$$ .

Решения: $(1;\ 5)$ и $(5;\ 1)$ . Проверка: $$1 + 5 + 5 = 11$$ , $$1 - 5 + 5 = 1$$ .

Ответ

(1; 5), (5; 1)

Почему так

Сложение и вычитание уравнений дают сумму и произведение x и y; затем — теорема, обратная теореме Виета.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решите систему $\begin{cases} 2x - y - xy = 14, \\ x + 2y + xy = -7. \end{cases}$

Решение

Сложим уравнения — слагаемые $$xy$$ уничтожатся: $$3x + y = 7$$ , $$y = 7 - 3x$$ .

Подставим в первое: $$2x - (7 - 3x) - x(7 - 3x) = 14$$ ,

$$5x - 7 - 7x + 3x^2 = 14$$ , $$3x^2 - 2x - 21 = 0$$ .

$$D = 4 + 252 = 256$$ , $x = \dfrac{2 \pm 16}{6}$ — $$x_1 = 3$$ , $x_2 = -\dfrac{7}{3} = -2\dfrac{1}{3}$ .

$$y_1 = 7 - 9 = -2$$ , $$y_2 = 7 + 7 = 14$$ .

Проверка для $(3;\ -2)$ — $$6 + 2 + 6 = 14$$ , $$3 - 4 - 6 = -7$$ .

Ответ

(3; −2), (−2 1/3; 14)

Почему так

Сложение уравнений убирает произведение xy, после чего работает подстановка.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решите систему $\begin{cases} x^2 + y^2 = 34, \\ xy = 15. \end{cases}$

Решение

$$(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 34 + 30 = 64$$ , значит, $$x + y = 8$$ или $$x + y = -8$$ .

$$(x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy = 34 - 30 = 4$$ , значит, $$x - y = 2$$ или $$x - y = -2$$ .

Четыре линейные системы:

$$x + y = 8$$ , $$x - y = 2$$ — $(5;\ 3)$ ;
$$x + y = 8$$ , $$x - y = -2$$ — $(3;\ 5)$ ;
$$x + y = -8$$ , $$x - y = 2$$ — $(-3;\ -5)$ ;
$$x + y = -8$$ , $$x - y = -2$$ — $(-5;\ -3)$ .

Проверка: $$25 + 9 = 34$$ , $5 \cdot 3 = 15$ .

Ответ

(−3; −5), (−5; −3), (3; 5), (5; 3)

Почему так

Через квадрат суммы и квадрат разности систему сводят к линейным.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решите систему $\begin{cases} x^2 - y^2 = 12, \\ xy = 8. \end{cases}$

Решение

Из второго уравнения $y = \dfrac{8}{x}$ ( $x \ne 0$ ). Подставим в первое:

$x^2 - \dfrac{64}{x^2} = 12$ , $$x^4 - 12x^2 - 64 = 0$$ .

Пусть $t = x^2 \ge 0$ — $$t^2 - 12t - 64 = 0$$ , $$t = 16$$ или $$t = -4$$ (не подходит).

$$x^2 = 16$$ , $$x = 4$$ или $$x = -4$$ ; $$y = 2$$ или $$y = -2$$ .

Проверка: $$16 - 4 = 12$$ , $4 \cdot 2 = 8$ .

Ответ

(−4; −2), (4; 2)

Почему так

Подстановка y = 8/x приводит к биквадратному уравнению; отрицательное значение x² отбрасываем.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/uprazhneniya-dlya-povtoreniya-7-9/upr-771/